الضرب والقسمة على عدد غير معدوم :
`a/b` كسر و `k` عدد غير معدوم :
لدينا :
`a/b =(a times \color{red}k) /( b times \color{red}k )` ; `a/b = (a div \color{red}k)/( b div \color{red}k) `
`30/54 = (30 div \color{red}6)/(54 div \color{red}6) = 5/9`
توحيد المقام : الكسران `11/18` و `7/12` مختلفا المقام،
نعلم أن 36 مضاعف مشترك للعددين 12 و 18 ومنه :
`7/12= (7 times 3)/(12 times 3) = 21/36`,
`11/18=(11 times 2)/(18 times 2) = 22/36`;
خاصية الجداء المتصالب :
`a , b, c ,d` أعداد حيث `b ne 0 , d ne 0`
- إذا كان : `a/b = c/d` فإن : `a times d= b times c`;
- إذا كان `a times d = b times c ` فإن : `a/b= c/d`;
مثال 2 : الكسران `37/481`و `12/156` متساويان لأن :
`12 times 481 = 5772` و `37 times 156 = 5772`;
خاصية :
إذا كان لكسرين نفس المقام فإن أصغرهما هو الكسر ذو البسط الأصغر.
قاعدة :
لمقارنة كسرين مقامهما مختلفان ، نبدأ بتوحيد المقامين.
مثال 3 : مقارنة الكسران `7/6`و `13/9`;
نبدأ بتوحيد المقام : `13/9= (13 times 2)/(9 times 2) = 26/18` و `7/6 = ( 7 times 3)/(6 times 3) = 21/18`
بما أن : `21 lt 26` فإن : `21/18 lt 26/18` إذن : `7/6 lt 13/9`
قاعدة:
لحساب مجموع أو فرق كسرين نقوم بتوحيد المقامات وذلك بالبحث عن المضاعف المشترك للمقامين.
جمع وطرح كسران:
`a/b` و `c/b` كسران لهما نفس المقام :
لدينا : `a/b - c/b = (a-c)/b`; و `a/b + c/b=(a+c)/b`
لجمع أو طرح كسرين مقاماهما مختلفان، نكتبهما بنفس المقام .
أمثلة :
لدينا : `a/b - c/b = (a-c)/b`; و `a/b + c/b=(a+c)/b`
لجمع أو طرح كسرين مقاماهما مختلفان، نكتبهما بنفس المقام .
أمثلة :
`1/6 +4/5 = (1 times 5)/(6 times 5) + ( 4 times 6)/( 5 times 6) = 5/30 + 24/30=29/30`
`7/10 -3/8 = ( 7 times 4)/(10 times 4) - (3 times 5)/(8 times 5) = 28/40 - 15/40=13/40`
حساب جداء عددين نسبيين :
لضرب عددين نسبيين :
نلاحظ إشارتي العاملين ثم نطبق قاعدة الإشارات
- نضرب العاملين بدون إشارة
- يكون الجداء موجبا إذا كان للعددين نفس الإشارة
- يكون الجداء سالبا إذا كان العددين مختلفين في الإشارة.
أي :
جداء عدد نسبي `a` في `(-1)`يعطي نظير العدد `a`
`a times (-1) =-a` أو `(-1) times a = -a`
إذا كان `a` موجبا فإن `-a` يكون سالبا.
إذا كان `a` سالبا فإن `-a` يكون موجبا.
حاصل قسمة عددين نسبيين :
حاصل قسمة عددين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد موجب.
حاصل قسمة عددين مختلفان في الإشارة هو عدد سالب.
حاصل قسمة عدد سالبين هو عدد موجب.
`a, b ` عددان نسبيان غير معدومان :
`(-a)/(-b) = a/b`;
أمثلة :
1) أحسب : `6 div (-3)`
المقسوم والمقسوم عليه مختلفان في الإشارة
إذن حاصل القسمة سالب.
ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر:
`6 div 3 = 2` إذن : `6 div (-3)=-2`
1) أحسب `(-27)/(-9)` البسط والمقام لهما نفس الإشارة إذن حاصل القسمة موجب.
ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر (العددين بدون إشارة)
`27/9 =3` إذن : `(-27)/(-9) = 3`
تمرين :
لدينا :
`A=3/2; B=2/3; C=5; D=7/4`;
1. أحسب ما يلي : `A+B; C-D; A times D; B div D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.
1. أحسب ما يلي : `A+B; C-D; A times D; B div D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.
1. أحسب ما يلي : `A+B; C-D; A times D; B div D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.
الحل :
1. إجراء العمليات :
`A+B= 3/2 + 2/3 = ( 3 times 3)/(2 times 3) + (2 times 2)/(3 times 2)`;
`A+B= 9/6 + 4/6= (9+4)/6 = 13/6`;
`\color{red}{A+B = 13/6}`;
` C- D= 5- 7/4 = (5 times 4)/4 - 7/4 `
` C- D= 20/4 - 7/4 = (20-7)/4ْ`;
`\color{red}{C-D =13/4}`;
`A times D = 3/2 times 7/4 = ( 3 times 7)/(2 times 4)`
`\color{red}{A times D= 21/8}`;
`B div D= 2/3 div 7/4 = ( 2 times 4 )/( 3 times 7)`;
`\color{red}{B div D = 8/21}`;
2. المقارنة بين : `A;B;C;D`
نلاحظ أن المضاعف المشترك الأصغر لكل من 2، 3 و 4 هو العدد 12 ومنه نقوم بتوحيد المقامات :
`A=3/2 = (3 times 6)/(2 times 6)`
`\color{red}{A= 18/12}`;
`B= 2/3= (2 times 4) /(3 times 4`;
`\color{red}{B=8/12}`;
`C=5=(5 times 12)/(1 times 12)`;
`\color{red}{C= 60/12}`;
`D=7/4= (7 times 3)/(4 times 3)`;
`\color{red}{D=21/12}`
إذن :
$ \boxed{C \gt D \gt A\gt B}$
$ \boxed{C \gt D \gt A\gt B}$
تمرين 01:
أ)أحسب ما يلي :
`A=4/5 div 2/3`;
`B=1/2 div 3`;
`C=7 times 2/5`;
ب) أكمل كلا من المساواة الآتية :
`3/4 times ................=1`;
`5/7 div ..................=1`;
`2/3 times ...........=2`;
الحل :
أ) حساب قيم A,B,C
`A=4/5 div 2/3=(4 times 3)/(5 times 2)`;
`A=((2 times cancel(2)) times 3)/(cancel(2) times 5)`;
`A=(2 times 3)/(5)`;
`A=6/5`;
`B=1/(2 times 3)`;
`B=1/6`;
`C=7 times 2/5=(7 times 2)/5`;
`C=14/5`;
ب) إكمال المساواة
`3/4 times 4/3=1`;
`5/7 div 5/7=1`;
`2/3 times cancel(2) times 3/cancel(2)=2`;
`2/3 times 3=2`;
تمرين 2:
1) أحسب كلا من العددين : `A` و `B` حيث :
`A=6/5-11/7 times (-3/5)`
`B=-5/8+3/(-4)`
الحل :
`A=6/5-11/7 times (-3/5)`
`A=6/5+(11 times 3)/(7 times 5)`
`A=(6 times 5+11 times 3)/(7 times 5)`
`A=(30+33)/(35)`
$\boxed{A=\frac{63}{35}}$
`B=-5/8 +3/(-4) `
`B=-5/8 -(3 times 2)/(4 times 2)`
`B=(-5-6)/8`
$\boxed{B=\frac{-11}{8}}$
التمرين 03
إليك العبارات `A, B, C` حيث :
`A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)`
`B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)] `
`C=((x) times (-10))/((-83) times (-2.5))`
- أحسب كل من : `A` و `B` و `A+B `
-أحسب `B/A ` ثم أعط القيمة المقربة بالنقصان لـ `1/100`
- إذا علمت أن `C` عدد موجب حدد إشارة العدد النسبي `x` مع التعليل ؟
الحل:
`A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)`
`A=(-125) times (-9) times (-8/100)`
`A=(-125) times (72/100)`
`A=(-125 div 25) times (72/(100 div 25))`
`A=(-5) times (72 div 4 )/(4 div 4))`
`A=(-5) times (18)`
`A=-90`
`B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)] `
`B=[360 ] div [(130] `
`B=36/13 `
`A+B=-90+36/13=(-90 times 13+36)/13`
`A+B=(-1170+36)/13`
`A+B=(-1157)/13`
`A+B=-87.23076923076923`
القيمة المقربة بالنقصان لـ `1/100` هي `A+B=-87.23`
- إشارة العدد النسبي `x` حيث `C` موجب :
حتى يكون `C` موجب يجب أن يكون البسط والمقام من نفس الإشارة.
- نلاحظ أن المقام هو جداء عددين سالبين ومنه يكون المقام موجب.
وبما أن المقام سالب ، يجب أن يكون البسط سالب.
وبما أن البسط يحتوي على حدين أحدهما سالب `(-10)` فيجب أن يكون الحد الثاني سالبا أيضا ، أي أن `x` عدد سالب.
شكرا على الدرس
ردحذف