العمليات على الكسور

الضرب والقسمة على عدد غير معدوم :

 `a/b`  كسر و `k`  عدد غير معدوم :

لدينا : 

`a/b =(a times \color{red}k) /( b times \color{red}k )` ; `a/b = (a div \color{red}k)/( b div \color{red}k) `

مثال 1 :

تبسيط كسر :

`30/54 = (30 div \color{red}6)/(54 div \color{red}6) = 5/9`

توحيد المقام : الكسران  `11/18` و `7/12` مختلفا المقام، 

نعلم أن 36 مضاعف مشترك للعددين 12 و 18 ومنه :  

`7/12= (7 times 3)/(12 times 3) = 21/36`, 

`11/18=(11 times 2)/(18 times 2) = 22/36`; 

خاصية الجداء المتصالب :

`a , b, c ,d`  أعداد حيث `b ne 0 , d ne 0` 

- إذا كان :  `a/b = c/d` فإن : `a times d= b times c`; 

- إذا كان `a times d = b times c ` فإن :  `a/b= c/d`; 

مثال 2 : الكسران `37/481`و `12/156` متساويان لأن : 

`12 times 481 = 5772` و `37 times 156 = 5772`; 

خاصية :

إذا كان  لكسرين نفس المقام فإن أصغرهما هو الكسر ذو البسط الأصغر.

قاعدة :

 لمقارنة كسرين مقامهما مختلفان ، نبدأ بتوحيد المقامين.

مثال 3 : مقارنة الكسران `7/6`و  `13/9`;

نبدأ بتوحيد المقام : `13/9= (13 times 2)/(9 times 2) = 26/18` و `7/6 = ( 7 times 3)/(6 times 3) = 21/18`

بما أن : `21 lt 26` فإن : `21/18 lt 26/18` إذن : `7/6 lt 13/9`

قاعدة:

  لحساب مجموع أو فرق كسرين نقوم بتوحيد المقامات وذلك بالبحث عن المضاعف المشترك للمقامين.

جمع وطرح كسران:

`a/b`  و `c/b`  كسران لهما نفس المقام :
لدينا : `a/b - c/b = (a-c)/b`; و `a/b + c/b=(a+c)/b`
لجمع أو طرح كسرين مقاماهما مختلفان، نكتبهما بنفس المقام .
  أمثلة :

`1/6 +4/5 = (1 times 5)/(6 times 5) + ( 4 times 6)/( 5 times 6) = 5/30 + 24/30=29/30`

`7/10 -3/8 = ( 7 times 4)/(10 times 4) - (3 times 5)/(8 times 5) = 28/40 - 15/40=13/40`

حساب جداء عددين نسبيين :

لضرب عددين نسبيين : 

نلاحظ إشارتي العاملين ثم نطبق قاعدة الإشارات 

- نضرب العاملين بدون إشارة 

- يكون الجداء موجبا إذا كان للعددين نفس الإشارة 

- يكون الجداء سالبا إذا كان العددين مختلفين في الإشارة.

أي : 

جداء عدد نسبي `a` في   `(-1)`يعطي نظير العدد `a`

`a times (-1) =-a` أو `(-1) times a = -a`

إذا كان `a` موجبا فإن `-a` يكون سالبا.

إذا كان `a` سالبا فإن `-a` يكون موجبا.

حاصل قسمة عددين نسبيين :

حاصل قسمة عددين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد موجب.

حاصل قسمة عددين مختلفان في الإشارة هو عدد سالب. 

حاصل قسمة عدد سالبين هو عدد موجب.

`a, b ` عددان نسبيان غير معدومان :

`(-a)/(-b) = a/b`; 

أمثلة :

1) أحسب : `6 div (-3)`

المقسوم والمقسوم عليه مختلفان في الإشارة 

إذن حاصل القسمة سالب.

ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر:

`6 div 3 = 2` إذن : `6 div (-3)=-2`

1) أحسب `(-27)/(-9)` البسط والمقام لهما نفس الإشارة إذن حاصل القسمة موجب.

ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر (العددين بدون إشارة) 

`27/9 =3`  إذن : `(-27)/(-9) = 3`

تمرين :

لدينا :

`A=3/2; B=2/3; C=5;  D=7/4`; 

1. أحسب ما يلي : `A+B; C-D; A times D; B div D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.
1. أحسب ما يلي : `A+B; C-D; A times D; B div D`.
2. قارن بين : `A; B; C; D`.

الحل :

1. إجراء العمليات :

`A+B= 3/2 + 2/3 = ( 3 times 3)/(2 times 3) + (2 times 2)/(3 times 2)`;

`A+B= 9/6 + 4/6= (9+4)/6 = 13/6`;

`\color{red}{A+B = 13/6}`; 

` C- D= 5- 7/4 = (5 times 4)/4 - 7/4 `

` C- D= 20/4 - 7/4 = (20-7)/4ْ`;

`\color{red}{C-D =13/4}`;

`A times D = 3/2 times 7/4 = ( 3 times 7)/(2 times 4)`

`\color{red}{A times D= 21/8}`;

`B div D= 2/3 div 7/4 = ( 2 times 4 )/( 3 times 7)`;

`\color{red}{B div D = 8/21}`;

2. المقارنة بين : `A;B;C;D`

نلاحظ أن المضاعف المشترك الأصغر لكل من 2، 3 و 4 هو العدد 12 ومنه نقوم بتوحيد المقامات :

`A=3/2 = (3 times 6)/(2 times 6)`

`\color{red}{A= 18/12}`;

`B= 2/3= (2 times 4) /(3 times 4`;

`\color{red}{B=8/12}`;

`C=5=(5 times 12)/(1 times 12)`;

`\color{red}{C= 60/12}`;

`D=7/4= (7 times 3)/(4 times 3)`;

`\color{red}{D=21/12}`

إذن :
$ \boxed{C \gt D \gt A\gt B}$

تمرين 01: 

أ)أحسب ما يلي :

`A=4/5 div 2/3`;

`B=1/2 div 3`;

 `C=7 times 2/5`;

ب) أكمل كلا من المساواة الآتية :

`3/4 times ................=1`;

`5/7 div ..................=1`;

`2/3 times ...........=2`; 

الحل :

أ) حساب قيم A,B,C

`A=4/5 div 2/3=(4 times 3)/(5 times 2)`;

`A=((2 times cancel(2)) times 3)/(cancel(2) times 5)`;

`A=(2 times 3)/(5)`;

`A=6/5`; 

`B=1/(2 times 3)`;

`B=1/6`;

`C=7 times 2/5=(7 times 2)/5`;

 `C=14/5`;

ب) إكمال المساواة

`3/4 times  4/3=1`;

`5/7 div  5/7=1`;

`2/3 times cancel(2) times 3/cancel(2)=2`;

`2/3 times 3=2`;

تمرين 2: 

1) أحسب كلا من العددين : `A` و `B` حيث : 

`A=6/5-11/7 times (-3/5)`

`B=-5/8+3/(-4)`

الحل : 

`A=6/5-11/7 times (-3/5)`

`A=6/5+(11 times 3)/(7 times 5)`

`A=(6 times 5+11 times 3)/(7 times 5)`

`A=(30+33)/(35)`

$\boxed{A=\frac{63}{35}}$

`B=-5/8 +3/(-4) `

`B=-5/8 -(3 times 2)/(4 times 2)`

`B=(-5-6)/8`

$\boxed{B=\frac{-11}{8}}$

التمرين 03 

إليك العبارات `A, B, C` حيث : 

`A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)`

`B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)] `

`C=((x) times (-10))/((-83) times (-2.5))`

- أحسب كل من : `A` و `B` و `A+B `

-أحسب `B/A ` ثم أعط القيمة المقربة بالنقصان لـ  `1/100`

- إذا علمت أن  `C` عدد موجب حدد إشارة العدد النسبي `x` مع التعليل ؟

الحل:

`A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)`

`A=(-125) times (-9) times (-8/100)`

`A=(-125) times (72/100)`

`A=(-125 div 25) times (72/(100 div 25))`

`A=(-5) times (72 div 4 )/(4 div 4))`

`A=(-5) times (18)`

`A=-90`

`B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)] `

`B=[360 ] div [(130] `

`B=36/13 `

`A+B=-90+36/13=(-90 times 13+36)/13`

`A+B=(-1170+36)/13`

`A+B=(-1157)/13`

`A+B=-87.23076923076923`

 القيمة المقربة بالنقصان لـ  `1/100` هي  `A+B=-87.23`

-  إشارة العدد النسبي `x` حيث `C` موجب :

حتى يكون `C` موجب يجب أن يكون البسط والمقام من نفس الإشارة.

- نلاحظ أن المقام هو جداء عددين سالبين ومنه يكون المقام موجب.

  وبما أن المقام سالب ، يجب أن يكون البسط سالب. 

وبما أن  البسط  يحتوي على حدين أحدهما سالب `(-10)`    فيجب أن يكون الحد الثاني سالبا أيضا ، أي أن  `x`  عدد سالب.