المرافق في الجيل الثاني: العمليات على الكسور

الضرب والقسمة على عدد غير معدوم :

$a/b$ كسر و

$k$ عدد غير معدوم :

لدينا :

$a/b =(a times \color{red}k) /( b times \color{red}k )$ ;

$a/b = (a div \color{red}k)/( b div \color{red}k)$

مثال 1 :

تبسيط كسر :

$30/54 = (30 div \color{red}6)/(54 div \color{red}6) = 5/9$

توحيد المقام : الكسران

$11/18$ و

$7/12$ مختلفا المقام،

نعلم أن 36 مضاعف مشترك للعددين 12 و 18 ومنه :

$7/12= (7 times 3)/(12 times 3) = 21/36$ ,

$11/18=(11 times 2)/(18 times 2) = 22/36$ ;

خاصية الجداء المتصالب :

$a , b, c ,d$ أعداد حيث

$b ne 0 , d ne 0$

- إذا كان :

$a/b = c/d$ فإن :

$a times d= b times c$ ;

- إذا كان

$a times d = b times c$ فإن :

$a/b= c/d$ ;

مثال 2 : الكسران

$37/481$ و

$12/156$ متساويان لأن :

$12 times 481 = 5772$ و

$37 times 156 = 5772$ ;

خاصية :

إذا كان لكسرين نفس المقام فإن أصغرهما هو الكسر ذو البسط الأصغر.

قاعدة :

لمقارنة كسرين مقامهما مختلفان ، نبدأ بتوحيد المقامين.

مثال 3 : مقارنة الكسران

$7/6$ و

$13/9$ ;

نبدأ بتوحيد المقام :

$13/9= (13 times 2)/(9 times 2) = 26/18$ و

$7/6 = ( 7 times 3)/(6 times 3) = 21/18$

بما أن :

$21 lt 26$ فإن :

$21/18 lt 26/18$ إذن :

$7/6 lt 13/9$

قاعدة:

لحساب مجموع أو فرق كسرين نقوم بتوحيد المقامات وذلك بالبحث عن المضاعف المشترك للمقامين.

جمع وطرح كسران:

$a/b$ و

$c/b$ كسران لهما نفس المقام :
لدينا :

$a/b - c/b = (a-c)/b$ ; و

$a/b + c/b=(a+c)/b$
لجمع أو طرح كسرين مقاماهما مختلفان، نكتبهما بنفس المقام .
أمثلة :

$1/6 +4/5 = (1 times 5)/(6 times 5) + ( 4 times 6)/( 5 times 6) = 5/30 + 24/30=29/30$

$7/10 -3/8 = ( 7 times 4)/(10 times 4) - (3 times 5)/(8 times 5) = 28/40 - 15/40=13/40$

حساب جداء عددين نسبيين :

لضرب عددين نسبيين :

نلاحظ إشارتي العاملين ثم نطبق قاعدة الإشارات

- نضرب العاملين بدون إشارة

- يكون الجداء موجبا إذا كان للعددين نفس الإشارة

- يكون الجداء سالبا إذا كان العددين مختلفين في الإشارة.

أي :

جداء عدد نسبي

$a$ في

$(-1)$ يعطي نظير العدد

$a$

$a times (-1) =-a$ أو

$(-1) times a = -a$

إذا كان

$a$ موجبا فإن

$-a$ يكون سالبا.

إذا كان

$a$ سالبا فإن

$-a$ يكون موجبا.

حاصل قسمة عددين نسبيين :

حاصل قسمة عددين نسبيين لهما نفس الإشارة هو عدد موجب.

حاصل قسمة عددين مختلفان في الإشارة هو عدد سالب.

حاصل قسمة عدد سالبين هو عدد موجب.

$a, b$ عددان نسبيان غير معدومان :

$(-a)/(-b) = a/b$ ;

أمثلة :

1) أحسب :

$6 div (-3)$

المقسوم والمقسوم عليه مختلفان في الإشارة

إذن حاصل القسمة سالب.

ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر:

$6 div 3 = 2$ إذن :

$6 div (-3)=-2$

1) أحسب

$(-27)/(-9)$ البسط والمقام لهما نفس الإشارة إذن حاصل القسمة موجب.

ننجز عملية قسمة المسافتين إلى الصفر (العددين بدون إشارة)

$27/9 =3$ إذن :

$(-27)/(-9) = 3$

تمرين :

لدينا :

$A=3/2; B=2/3; C=5; D=7/4$ ;

1. أحسب ما يلي :

$A+B; C-D; A times D; B div D$ .
2. قارن بين :

$A; B; C; D$ .
1. أحسب ما يلي :

$A+B; C-D; A times D; B div D$ .
2. قارن بين :

$A; B; C; D$ .

الحل :

1. إجراء العمليات :

$A+B= 3/2 + 2/3 = ( 3 times 3)/(2 times 3) + (2 times 2)/(3 times 2)$ ;

$A+B= 9/6 + 4/6= (9+4)/6 = 13/6$ ;

$\color{red}{A+B = 13/6}$ ;

$C- D= 5- 7/4 = (5 times 4)/4 - 7/4$

$C- D= 20/4 - 7/4 = (20-7)/4ْ$ ;

$\color{red}{C-D =13/4}$ ;

$A times D = 3/2 times 7/4 = ( 3 times 7)/(2 times 4)$

$\color{red}{A times D= 21/8}$ ;

$B div D= 2/3 div 7/4 = ( 2 times 4 )/( 3 times 7)$ ;

$\color{red}{B div D = 8/21}$ ;

2. المقارنة بين : $A;B;C;D$

نلاحظ أن المضاعف المشترك الأصغر لكل من 2، 3 و 4 هو العدد 12 ومنه نقوم بتوحيد المقامات :

$A=3/2 = (3 times 6)/(2 times 6)$

$\color{red}{A= 18/12}$ ;

$B= 2/3= (2 times 4) /(3 times 4$ ;

$\color{red}{B=8/12}$ ;

$C=5=(5 times 12)/(1 times 12)$ ;

$\color{red}{C= 60/12}$ ;

$D=7/4= (7 times 3)/(4 times 3)$ ;

$\color{red}{D=21/12}$

إذن :

$\boxed{C \gt D \gt A\gt B}$

تمرين 01:

أ)أحسب ما يلي :

$A=4/5 div 2/3$ ;

$B=1/2 div 3$ ;

$C=7 times 2/5$ ;

ب) أكمل كلا من المساواة الآتية :

$3/4 times ................=1$ ;

$5/7 div ..................=1$ ;

$2/3 times ...........=2$ ;

الحل :

أ) حساب قيم A,B,C

$A=4/5 div 2/3=(4 times 3)/(5 times 2)$ ;

$A=((2 times cancel(2)) times 3)/(cancel(2) times 5)$ ;

$A=(2 times 3)/(5)$ ;

$A=6/5$ ;

$B=1/(2 times 3)$ ;

$B=1/6$ ;

$C=7 times 2/5=(7 times 2)/5$ ;

$C=14/5$ ;

ب) إكمال المساواة

$3/4 times 4/3=1$ ;

$5/7 div 5/7=1$ ;

$2/3 times cancel(2) times 3/cancel(2)=2$ ;

$2/3 times 3=2$ ;

تمرين 2:

1) أحسب كلا من العددين :

$A$ و

$B$ حيث :

$A=6/5-11/7 times (-3/5)$

$B=-5/8+3/(-4)$

الحل :

$A=6/5-11/7 times (-3/5)$

$A=6/5+(11 times 3)/(7 times 5)$

$A=(6 times 5+11 times 3)/(7 times 5)$

$A=(30+33)/(35)$

$\boxed{A=\frac{63}{35}}$

$B=-5/8 +3/(-4)$

$B=-5/8 -(3 times 2)/(4 times 2)$

$B=(-5-6)/8$

$\boxed{B=\frac{-11}{8}}$

التمرين 03

إليك العبارات

$A, B, C$ حيث :

$A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)$

$B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)]$

$C=((x) times (-10))/((-83) times (-2.5))$

- أحسب كل من :

$A$ و

$B$ و

$A+B$

-أحسب

$B/A$ ثم أعط القيمة المقربة بالنقصان لـ

$1/100$

- إذا علمت أن

$C$ عدد موجب حدد إشارة العدد النسبي

$x$ مع التعليل ؟

الحل:

$A=(-125) times (-9) times (-8) times (0.01)$

$A=(-125) times (-9) times (-8/100)$

$A=(-125) times (72/100)$

$A=(-125 div 25) times (72/(100 div 25))$

$A=(-5) times (72 div 4 )/(4 div 4))$

$A=(-5) times (18)$

$A=-90$

$B=[(-24) times (15) ] div [(-13) +(10)]$

$B=[360 ] div [(130]$

$B=36/13$

$A+B=-90+36/13=(-90 times 13+36)/13$

$A+B=(-1170+36)/13$

$A+B=(-1157)/13$

$A+B=-87.23076923076923$

القيمة المقربة بالنقصان لـ

$1/100$ هي

$A+B=-87.23$

- إشارة العدد النسبي

$x$ حيث

$C$ موجب :

حتى يكون

$C$ موجب يجب أن يكون البسط والمقام من نفس الإشارة.

- نلاحظ أن المقام هو جداء عددين سالبين ومنه يكون المقام موجب.

وبما أن المقام سالب ، يجب أن يكون البسط سالب.

وبما أن البسط يحتوي على حدين أحدهما سالب

$(-10)$ فيجب أن يكون الحد الثاني سالبا أيضا ، أي أن $x$ عدد سالب.

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

العمليات على الكسور

الضرب والقسمة على عدد غير معدوم :

مثال 1 :

تبسيط كسر :

خاصية الجداء المتصالب :

خاصية :

قاعدة :

قاعدة:

جمع وطرح كسران:

حساب جداء عددين نسبيين :

حاصل قسمة عددين نسبيين :

تمرين :

الحل :

1. إجراء العمليات :

2. المقارنة بين : $A;B;C;D$

تمرين 01:

الحل :

أ) حساب قيم A,B,C

ب) إكمال المساواة

تمرين 2:

الحل :

التمرين 03

الحل:

هناك تعليق واحد:

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

الصفحات

العمليات على الكسور

الضرب والقسمة على عدد غير معدوم :

مثال 1 :

تبسيط كسر :

خاصية الجداء المتصالب :

خاصية :

قاعدة :

قاعدة:

جمع وطرح كسران:

حساب جداء عددين نسبيين :

حاصل قسمة عددين نسبيين :

تمرين :

الحل :

1. إجراء العمليات :

2. المقارنة بين : A;B;C;DA;B;C;D

تمرين 01:

الحل :

أ) حساب قيم A,B,C

ب) إكمال المساواة

تمرين 2:

الحل :

التمرين 03

الحل:

هناك تعليق واحد:

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

2. المقارنة بين : $A;B;C;D$