خاصية مستقيم المنتصفين و تناسبية أطوال أضلاع مثلث

مستقيم المنتصفين :

خاصية 01

في مثلث، إذا شمل مستقيم منتصفي ضلعين، فإنه يوازي حامل الضلع الثالث.

خاصية 02

• في مثلث، طول القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين، يساوي نصف طول الضلع الثالث.، وطول القطعة الواصلة بين هذين المنتصفين يساوي نصف طول الضلع الثالث.
•   إذا كان `B'` منتصف `[AC]` و `C'` منتصف `[AB]` فإن : `B'C'= 1/2 BC` و `(BC) ∥ (B'C')`

خاصية 03 :

في مثلث، إذا شمل مستقيم منتصف أحد أضلاعه وكان مواز لحامل ضلع ثان، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

خاصية تناسبية الأطوال في مثلث

خاصية :

`ABC` مثلث، إذا كانت `L` نقطة من `(AB)`و `M` نقطة من `(AC)` وكان `(LM)`و `(BC)` متوازيان فإن : `(AL)/(AB)=(AM)/(AC)=(LM)/(BC)`
مثال:
بما أن `L` و `M` من `[AB]` و `[AC]` على الترتيب، و `(LM)∥(BC)`
فإن : `(AL)/(AB)=(AM)/(AC)=(LM)/(BC)`

التمرين الأول :

`ABC` مثلث، `K, N, M` منتصفات الأضلاع `[AB]`، `[AC]`، `[BC]` على الترتيب :

برهن أن : `(MK) ∥ (AC) ; (AB)∥(NK); (BC)∥(MN)`

حل التمرين الأول :

نلاحظ أن الرباعي  `(ANMK)` متوازي أضلاع ومنه  حاملا الضلعين `[AC]` و `[MK]` متوازيان أي:  `(MK)∥(AC)`
الرباعي `(CNMK)` متوازي أضلاع ومنه فإن حاملا الضلعين `[CK]` و `[NM]`  متوازيان أي `(BC) ∥ (NM)`

التمرين الثاني:

`ABC` مثلث حيث `A'` منتصف `[BC]`، المستقيم `(D)` الذي يشمل `A'` ويوازي `(AB)` يقطع `[AC]` في النقطة `E` والمستقيم `(D')` الذي يشمل `A` ويوازي `(BC)` يقطع `(D)` في النقطة `H`.
1. برهن أن النقطة `E` منتصف `[AC] `.
2. برهن أن النقطة `E` منتصف `[HA']`
حل التمرين الثاني :

1.نلاحظ أن المستقيم `(D)` مواز لحامل الضلع `[BA]` ويقطع حامل الضلع `[BC]` في النقطة `A'` منتصف هذا الضلع ، حسب الخاصية 03 لمستقيم المنتصفين ، فإنه يقطع حامل الضلع `[AC]` في المنتصف.ومنه فإن النقطة  `E`هي منتصف `[AC]`
2. حسب الخاصية رقم 02 لمستقيم المنتصفين فإنه إذا كانت `E'` هي منتصف الضلع `[AB]` فإن : `AE'= BE' =EA' =EH` وبالتالي `E` هي منتصف `[HA']`

التمرين الثالث:

`ABC` مثلث حيث : `AC=6cm ; BC=9cm` . `D` نقطة من `[BC]` بحيث : `BD=3cm`.
`(\Delta)` متسقيم يشمل `D` ويوازي `(AC)` كما يقطع `[AB]` في النقطة H.
`(\Delta')` مستقيم يشمل `D` ويوازي `(AB)` ويقطع `[AC]` في النقطة `N`
1. أحسب النسبة `(BH)/(AB)` والنسبة `(CN)/(AC)`
2. أحسب الطول `DH`.

حل التمرين الثالث

 في المثلث `ABC` ،تقع النقطة  `H` على `BA` والنقطة  `D` نقطة من `BC` و حيث أن `( HD )` و `(AC)` متوازيان فإن :

`(BH)/(AB)=(BD)/(BC)=(DH)/(AC)`

تطبيق عددي :

`(BD)/(BC)=3/9=1/3`;

`\color{red}{(BH)/(AB)=1/3}`

 `N` نقطة من `AC` و `D` نقطة من `BC` وحيث أن `(ND)` و `(AB)` متوازيان فإن :

`(CN)/(AC)=(CD)/(BC)=(DN)/(AB)`

`BC=9; CD=BC-BD=9-3=6`;

`(CD)/(BC)=6/9=2/3`;

`\color{red}{(CN)/(AC)=2/3}`

`(DH)/(AC)=1/3 => DH=(AC)/3=6/3=2`

`\color{red}{DH=2}`

التمرين الرابع

`ABC` مثلث حيث : `BC=10cm` . `D` و `H` نقطتان من `[BC]` حيث : `BD=HC=2cm`

المستقيم الذي يشمل `D` ويوازي `(AB)` يقطع `[AC]` في النقطة `K` والمستقيم الذي يشمل `H` و يوازي `(AC)` يقطع `[AB]` في النقطة `M`

1. نضع : `(HM) \cap (DK)=N` . أحسب : `(CK)/(CA), (HN)/(HM) ,(DN)/(DK)`

2. نفرض أن : `HN=4cm`؛ و `DN=8cm` . أحسب : `DK; HM; KC; BM`

الحل :

في المثلث `ABC` ،
تقع النقطة `H` على المستقيم `(BC)` والنقطة `M` على المستقيم `(BA)` ، المستقيمان `(MH)` و `(AC)` متوازيان ومنه :

`(BH)/(BC)=(BM)/(BA)=(HM)/(CA)`;

النقطة `K` تقع على المستقيم `(AC)` والنقطة `D` تقع على المستقيم `(BC)` ، المستقيمان `(DK)` و `(BA)` متوازيان ومنه :

`(CD)/(CB)=(CK)/(CA)=(DK)/(BA)`

تطبيق عددي :

`BC=10 cm`;

`BD=CH=2cm`;

`BH=BC-CH=10-2=8`;

`DH=10-4=6`;

`DC=10-2=8`;

`(BH)/(BC)= 8/10 = (8 div 2)/(10 div 2)=4/5`;

`(DC)/(BC)= 8/10=4/5`;

`\color{red}{(CK)/(CA)=4/5}`;

في المثلث : `BHM` ، النقطتان `D` و `N` تقعان على ضلعين للمثلث وعلى مستقيم مواز للضلع الثالث `(BM)` ومنه :

`(HD)/(HB)=(HN)/(HM)=(DN)/(BM)`

`(HD)/(HB)=6/8=3/4`;

`\color{red}{(HN)/(HM)=3/4}`;

في المثلث `DCK` النقطتين : `H` و `N` تقعان على ضلعين من المثلث وعلى مستقيم مواز للضلع الثالث `(AK)` ومنه :

`(DH)/(DC)=(DN)/(DK)=(HN)/(CK)`;

`(DH)/(DC)=6/8=3/4`;

`\color{red}{(DN)/(DK)=3/4} `;

2. لدينا : `DN=8 cm` و `HN=4cm`

`DN=3/4 times DK =>DK=(DN)/(3/4)=(8 times 4)/3`;

`\color{red}{DK=32/3=10.66 cm}`;

`HM=(HN)/(3/4)=4/(3/4)=16/3`

`\color{red}{HM=16/3 cm}`

`(DN)/(BM)=3/4 =>BM=(DN)/(3/4)=(8 times 4) /3`;

`\color{red}{BM=32/3 cm}`

`(HN)/(CK)=3/4 =>CK=(HN)/(3/4)=(4 times 4)/3`

`\color{red}{CK=16/3 cm}`