المرافق في الجيل الثاني: خاصية مستقيم المنتصفين و تناسبية أطوال أضلاع مثلث

مستقيم المنتصفين :

خاصية 01

في مثلث، إذا شمل مستقيم منتصفي ضلعين، فإنه يوازي حامل الضلع الثالث.

خاصية 02

في مثلث، طول القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين، يساوي نصف طول الضلع الثالث.، وطول القطعة الواصلة بين هذين المنتصفين يساوي نصف طول الضلع الثالث.
إذا كان $B'$ منتصف $[AC]$ و $C'$ منتصف $[AB]$ فإن : $B'C'= 1/2 BC$ و $(BC) ∥ (B'C')$

خاصية 03 :

في مثلث، إذا شمل مستقيم منتصف أحد أضلاعه وكان مواز لحامل ضلع ثان، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

خاصية تناسبية الأطوال في مثلث

خاصية :

$ABC$ مثلث، إذا كانت

$L$ نقطة من

$(AB)$ و

$M$ نقطة من

$(AC)$ وكان

$(LM)$ و

$(BC)$ متوازيان فإن :

$(AL)/(AB)=(AM)/(AC)=(LM)/(BC)$
مثال:
بما أن

$L$ و

$M$ من

$[AB]$ و

$[AC]$ على الترتيب، و

$(LM)∥(BC)$
فإن :

$(AL)/(AB)=(AM)/(AC)=(LM)/(BC)$

التمرين الأول :

$ABC$ مثلث،

$K, N, M$ منتصفات الأضلاع

$[AB]$ ،

$[AC]$ ،

$[BC]$ على الترتيب :

برهن أن :

$(MK) ∥ (AC) ; (AB)∥(NK); (BC)∥(MN)$

حل التمرين الأول :

نلاحظ أن الرباعي

$(ANMK)$ متوازي أضلاع ومنه حاملا الضلعين

$[AC]$ و

$[MK]$ متوازيان أي:

$(MK)∥(AC)$
الرباعي

$(CNMK)$ متوازي أضلاع ومنه فإن حاملا الضلعين

$[CK]$ و

$[NM]$ متوازيان أي

$(BC) ∥ (NM)$

التمرين الثاني:

$ABC$ مثلث حيث

$A'$ منتصف

$[BC]$ ، المستقيم

$(D)$ الذي يشمل

$A'$ ويوازي

$(AB)$ يقطع

$[AC]$ في النقطة

$E$ والمستقيم

$(D')$ الذي يشمل

$A$ ويوازي

$(BC)$ يقطع

$(D)$ في النقطة

$H$ .
1. برهن أن النقطة

$E$ منتصف

$[AC]$ .
2. برهن أن النقطة

$E$ منتصف

$[HA']$
حل التمرين الثاني :

1.نلاحظ أن المستقيم

$(D)$ مواز لحامل الضلع

$[BA]$ ويقطع حامل الضلع

$[BC]$ في النقطة

$A'$ منتصف هذا الضلع ، حسب الخاصية 03 لمستقيم المنتصفين ، فإنه يقطع حامل الضلع

$[AC]$ في المنتصف.ومنه فإن النقطة

$E$ هي منتصف

$[AC]$
2. حسب الخاصية رقم 02 لمستقيم المنتصفين فإنه إذا كانت

$E'$ هي منتصف الضلع

$[AB]$ فإن :

$AE'= BE' =EA' =EH$ وبالتالي

$E$ هي منتصف

$[HA']$

التمرين الثالث:

$ABC$ مثلث حيث :

$AC=6cm ; BC=9cm$ .

$D$ نقطة من

$[BC]$ بحيث :

$BD=3cm$ .

$(\Delta)$ متسقيم يشمل

$D$ ويوازي

$(AC)$ كما يقطع

$[AB]$ في النقطة H.

$(\Delta')$ مستقيم يشمل

$D$ ويوازي

$(AB)$ ويقطع

$[AC]$ في النقطة

$N$
1. أحسب النسبة

$(BH)/(AB)$ والنسبة

$(CN)/(AC)$
2. أحسب الطول

$DH$ .

حل التمرين الثالث

تنسبية أطوال أضلاع مثلثين معينين بمستقيمين متوازيين يقطعهما قاطعان غير متوازيين

في المثلث

$ABC$ ،تقع النقطة

$H$ على

$BA$ والنقطة

$D$ نقطة من

$BC$ و حيث أن

$( HD )$ و

$(AC)$ متوازيان فإن :

$(BH)/(AB)=(BD)/(BC)=(DH)/(AC)$

تطبيق عددي :

$(BD)/(BC)=3/9=1/3$ ;

$\color{red}{(BH)/(AB)=1/3}$

$N$ نقطة من

$AC$ و

$D$ نقطة من

$BC$ وحيث أن

$(ND)$ و

$(AB)$ متوازيان فإن :

$(CN)/(AC)=(CD)/(BC)=(DN)/(AB)$

$BC=9; CD=BC-BD=9-3=6$ ;

$(CD)/(BC)=6/9=2/3$ ;

$\color{red}{(CN)/(AC)=2/3}$

$(DH)/(AC)=1/3 => DH=(AC)/3=6/3=2$

$\color{red}{DH=2}$

التمرين الرابع

$ABC$ مثلث حيث :

$BC=10cm$ .

$D$ و

$H$ نقطتان من

$[BC]$ حيث :

$BD=HC=2cm$

المستقيم الذي يشمل

$D$ ويوازي

$(AB)$ يقطع

$[AC]$ في النقطة

$K$ والمستقيم الذي يشمل

$H$ و يوازي

$(AC)$ يقطع

$[AB]$ في النقطة

$M$

1. نضع :

$(HM) \cap (DK)=N$ . أحسب :

$(CK)/(CA), (HN)/(HM) ,(DN)/(DK)$

2. نفرض أن :

$HN=4cm$ ؛ و

$DN=8cm$ . أحسب :

$DK; HM; KC; BM$

الحل :

في المثلث

$ABC$ ،
تقع النقطة

$H$ على المستقيم

$(BC)$ والنقطة

$M$ على المستقيم

$(BA)$ ، المستقيمان

$(MH)$ و

$(AC)$ متوازيان ومنه :

$(BH)/(BC)=(BM)/(BA)=(HM)/(CA)$ ;

النقطة

$K$ تقع على المستقيم

$(AC)$ والنقطة

$D$ تقع على المستقيم

$(BC)$ ، المستقيمان

$(DK)$ و

$(BA)$ متوازيان ومنه :

$(CD)/(CB)=(CK)/(CA)=(DK)/(BA)$

تطبيق عددي :

$BC=10 cm$ ;

$BD=CH=2cm$ ;

$BH=BC-CH=10-2=8$ ;

$DH=10-4=6$ ;

$DC=10-2=8$ ;

$(BH)/(BC)= 8/10 = (8 div 2)/(10 div 2)=4/5$ ;

$(DC)/(BC)= 8/10=4/5$ ;

$\color{red}{(CK)/(CA)=4/5}$ ;

في المثلث :

$BHM$ ، النقطتان

$D$ و

$N$ تقعان على ضلعين للمثلث وعلى مستقيم مواز للضلع الثالث

$(BM)$ ومنه :

$(HD)/(HB)=(HN)/(HM)=(DN)/(BM)$

$(HD)/(HB)=6/8=3/4$ ;

$\color{red}{(HN)/(HM)=3/4}$ ;

في المثلث

$DCK$ النقطتين :

$H$ و

$N$ تقعان على ضلعين من المثلث وعلى مستقيم مواز للضلع الثالث

$(AK)$ ومنه :

$(DH)/(DC)=(DN)/(DK)=(HN)/(CK)$ ;

$(DH)/(DC)=6/8=3/4$ ;

$\color{red}{(DN)/(DK)=3/4}$ ;

2. لدينا :

$DN=8 cm$ و

$HN=4cm$

$DN=3/4 times DK =>DK=(DN)/(3/4)=(8 times 4)/3$ ;

$\color{red}{DK=32/3=10.66 cm}$ ;

$HM=(HN)/(3/4)=4/(3/4)=16/3$

$\color{red}{HM=16/3 cm}$

$(DN)/(BM)=3/4 =>BM=(DN)/(3/4)=(8 times 4) /3$ ;

$\color{red}{BM=32/3 cm}$

$(HN)/(CK)=3/4 =>CK=(HN)/(3/4)=(4 times 4)/3$

$\color{red}{CK=16/3 cm}$

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

خاصية مستقيم المنتصفين و تناسبية أطوال أضلاع مثلث

مستقيم المنتصفين :

خاصية 01

خاصية 02

خاصية 03 :

خاصية تناسبية الأطوال في مثلث

خاصية :

التمرين الأول :

حل التمرين الأول :

التمرين الثاني:

التمرين الثالث:

حل التمرين الثالث

التمرين الرابع

الحل :

هناك تعليقان (2):

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة