العدد المشتق :

يحسب العدد المشتق بالعبارة التالية:

$f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (f(a+h)-f(a))/h$

مثال:

لتكن الدالة:

$f(x)=x^2$
المعرفة على المجال:

$D_f=[-2,2]$
أحسب العدد المشتق عند النقطة ذات الفاصلة :

$x=1$

الحل:

$f'(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (f(1+h)-f(1))/h$

لدينا:

$\(f(1+h)-f(1))/h=((1+h)^2-1^2)/h$

$=(1+2h+h^2-1)/h=(2h+h^2)/h=2+h ; h ne 0$

لما

$h ne 0$ يمكن اختزال

$h$ بين البسط والمقام فنحصل على :

$f'(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (2+h)$

ومنه:

$f'(1)=2$

الدالة المشتقة:

مشتقة الدالة $(ax+b)^n$ هي $n\times a\times(ax+b)^(n-1)$

مثال :

- أحسب مشتقة الدالة $f(x)=(5x+6)^3$ المعرفة على المجال $[-infty; \+infty\]$

الحل

$f'(x)=3 \times 5 \times(5x+6)^(3-1)$

$f'(x)=15(5x+6)^2$

مشتقة الدالة من الشكل : $f(x)=sqrt(g(x))$

حيث

$g(x) ge 0$ هي الدالة

$f'(x)$ المعرفة كما يلي :

$f'(x)=(g'(x))/(2 \times \sqrt(g(x)))$

مثال

حساب مشتقة الدالة :

$f(x) =sqrt(5x^2+6x+7)$

- نحسب مشتقة الدالة

$g(x)=5x^2+6x+7$

$g'(x)=5 \times 2 \times x + 6$ ;

$g'(x)=10x+6$ ;

ومنه مشتقة الدالة

$f(x)$ هي :

$f'(x)=(10x+6)/(2sqrt(5x^2+6x+7))$

العلاقة بين الدالة ودالتها المشتقة :

$f'(x)$ موجبة على مجال $D$ معناه $f$ دالة متزائدة على المجال $D$
$f'(x)$ سالبة على مجال $D$ معناه $f$ دالة متناقصة على المجال $D$
$f'(x)$ معدومة على مجال $D$ معناه $f$ دالة ثابتة على المجال $D$

مثال :

لتكن الدالة

$f(x) = x^3-3x$ معرفة على المجال

$] - infty , + infty[$

دالتها المشتقة :

$f'(x)= 3x^2-3$

$f'(x)=0 => 3x^2-3=0$

أي :

$3(x^2-1)=0$

$3(x-1)(x+1)=0$

نلاحظ أن :

$f'(x)=0$ لما $x=-1$ أو $x=1$ وتكون الدالة $f(x)$ ثابتة .
$f'(x)>0$ لما $x in ] -infty ; -1 [ cup] 1 ; + infty [$ و تكون الدالة $f(x)$ متزايدة .
$f'(x)<0$ لما $x in ]-1; 1[$ وتكون الدالة $f(x)$ متناقصة.

النقطة الحدية ونقطة الانعطاف

إذا انعدم المشتق الأول عند قيمة

$a$ مغيرا إشارته فالمنحنى يقبل النقطة

$A(a;f(a))$ كنقطة حدية.

إذا انعدم المشتق الأول عند قيمة

$a$ ولم يغير إشارته فالمنحنى يقبل النقطة

$A(a;f(a))$ كنقطة انعطاف.

إذا انعدم المشتق الثاني عند قيمة

$a$ مغيرا إشارته فالمنحنى يقبل النقطة

$A(a;f(a))$ كنقطة انعطاف

مثال :

لتكن الدالة

$f(x) = x^3-3x$ معرفة على المجال

$] - infty , + infty[$

المشتقة الأولى :

$f'(x)= 3x^2-3$ .

المشتقة الثانية :

$f''(x)=6x$

-المشتقة الأولى تنعدم عند القيمتين

$x=-1$ و

$x=1$ :

ونلاحظ

$f(-1) =-1-(-3)=2$ ,

$f(1)=1-3=-2$

هناك قيمتين حديتين عند النقطتين :

$A(-1,2)$ ;

$B(1,2)$

- المشتقة الثانية تنعدم عند القيمة

$x=0$ ونلاحظ

$f(0)=0$

وبالتالي الدالة

$f(x)$ تقبل نقطة أنعطاف

$C(0,0)$

المستقيم المماس

- معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة

$a$ :

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

- عدد المماسات التي معامل توجيهها أو (ميلها)

$b$ هي عدد حلول المعادلة

$f(x)=b$

- عدد المماسات التي توازي المستقيم ذو المعادلة

$y=ax+b$ هي عدد حلول المعادلة

$f'(x)=a$

معادلات المماسات تستنتج من خلال الحلول حيث يعتبر كل حل الفاصلة التي يكون عندها المماس.

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

العدد المشتق والدالة المشتقة

العدد المشتق :

مثال:

الحل:

الدالة المشتقة:

مشتقة الدالة $(ax+b)^n$ هي $n\times a\times(ax+b)^(n-1)$

مثال :

الحل

مشتقة الدالة من الشكل : $f(x)=sqrt(g(x))$

مثال

العلاقة بين الدالة ودالتها المشتقة :

مثال :

النقطة الحدية ونقطة الانعطاف

مثال :

المستقيم المماس

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

الصفحات

العدد المشتق والدالة المشتقة

العدد المشتق :

مثال:

الحل:

الدالة المشتقة:

مشتقة الدالة (ax+b)n(ax+b)^n هي n×a×(ax+b)n-1n\times a\times(ax+b)^(n-1)

مثال :

الحل

مشتقة الدالة من الشكل : f(x)=√g(x)f(x)=sqrt(g(x))

مثال

العلاقة بين الدالة ودالتها المشتقة :

مثال :

النقطة الحدية ونقطة الانعطاف

مثال :

المستقيم المماس

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

مشتقة الدالة $(ax+b)^n$ هي $n\times a\times(ax+b)^(n-1)$

مشتقة الدالة من الشكل : $f(x)=sqrt(g(x))$