العدد المشتق والدالة المشتقة

 العدد المشتق : 

يحسب العدد المشتق بالعبارة التالية: 

`f'(a)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (f(a+h)-f(a))/h`

مثال: 

لتكن الدالة:`f(x)=x^2 `
المعرفة على المجال: `D_f=[-2,2]`
أحسب العدد المشتق عند النقطة ذات الفاصلة : `x=1`

الحل:

`f'(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (f(1+h)-f(1))/h`

لدينا:

`\(f(1+h)-f(1))/h=((1+h)^2-1^2)/h`

`=(1+2h+h^2-1)/h=(2h+h^2)/h=2+h        ; h ne 0`

لما `h ne 0` يمكن اختزال `h` بين البسط والمقام فنحصل على :

`f'(1)=\lim_{h \rightarrow 0}\ (2+h)`

ومنه:

`f'(1)=2`

الدالة المشتقة: 

مشتقة الدالة `(ax+b)^n` هي `n\times a\times(ax+b)^(n-1)`

مثال : 

- أحسب مشتقة الدالة `f(x)=(5x+6)^3` المعرفة على المجال `[-infty; \+infty\]`

الحل

`f'(x)=3 \times 5 \times(5x+6)^(3-1)`

`f'(x)=15(5x+6)^2`

مشتقة الدالة من الشكل : `f(x)=sqrt(g(x))` 

حيث ` g(x) ge 0 ` هي الدالة`f'(x)` المعرفة كما يلي : 

`f'(x)=(g'(x))/(2 \times \sqrt(g(x)))` 

مثال

حساب  مشتقة الدالة :

`f(x) =sqrt(5x^2+6x+7)`

- نحسب مشتقة الدالة `g(x)=5x^2+6x+7`

`g'(x)=5 \times 2 \times x + 6`;

`g'(x)=10x+6`; 

ومنه مشتقة الدالة `f(x)`  هي : 

`f'(x)=(10x+6)/(2sqrt(5x^2+6x+7))`

العلاقة بين الدالة ودالتها المشتقة : 

• `f'(x) ` موجبة على مجال `D` معناه `f` دالة متزائدة على المجال `D`
• `f'(x) ` سالبة على مجال `D` معناه `f` دالة متناقصة على المجال `D`
• `f'(x) ` معدومة  على مجال `D` معناه `f` دالة ثابتة  على المجال `D`

مثال : 

لتكن الدالة `f(x) = x^3-3x` معرفة على المجال  `] - infty , + infty[` 

دالتها المشتقة :  `f'(x)= 3x^2-3`

`f'(x)=0 => 3x^2-3=0`

أي : 

`3(x^2-1)=0`

`3(x-1)(x+1)=0`

نلاحظ أن : 

• `f'(x)=0`  لما `x=-1 ` أو `x=1` وتكون الدالة `f(x) ` ثابتة .
• `f'(x)>0` لما  `x in ] -infty ; -1 [ cup] 1 ; + infty [` و تكون الدالة  `f(x) ` متزايدة .
• `f'(x)<0 ` لما `x in ]-1; 1[` وتكون الدالة  `f(x)` متناقصة.

النقطة الحدية ونقطة الانعطاف 

إذا انعدم المشتق الأول عند قيمة `a` مغيرا إشارته فالمنحنى يقبل النقطة `A(a;f(a))` كنقطة حدية.

إذا انعدم المشتق الأول عند قيمة `a` ولم  يغير إشارته فالمنحنى يقبل النقطة `A(a;f(a))` كنقطة انعطاف.

إذا انعدم المشتق الثاني عند قيمة `a` مغيرا إشارته فالمنحنى يقبل النقطة `A(a;f(a))` كنقطة انعطاف

مثال : 

لتكن الدالة `f(x) = x^3-3x` معرفة على المجال  `] - infty , + infty[` 

المشتقة الأولى :  `f'(x)= 3x^2-3`.

المشتقة الثانية : `f''(x)=6x`

-المشتقة الأولى تنعدم عند القيمتين`x=-1` و`x=1` :

ونلاحظ  `f(-1) =-1-(-3)=2` , `f(1)=1-3=-2`

هناك قيمتين حديتين عند النقطتين :  

`A(-1,2)`;`B(1,2)` 

- المشتقة الثانية تنعدم عند القيمة `x=0` ونلاحظ  `f(0)=0`

وبالتالي الدالة `f(x) ` تقبل نقطة أنعطاف `C(0,0)`

المستقيم المماس 

- معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة `a` :

 `y=f'(a)(x-a)+f(a)`

- عدد المماسات التي معامل توجيهها أو (ميلها) `b` هي عدد حلول المعادلة 

`f(x)=b`

- عدد المماسات التي توازي المستقيم ذو المعادلة `y=ax+b` هي عدد حلول المعادلة 

 `f'(x)=a`

معادلات المماسات تستنتج من خلال الحلول حيث يعتبر كل حل الفاصلة التي يكون عندها المماس.