عمليات على الدوال

تساوي دالتين

تعريف : القول عن دالتين `f` و `g` أنهما متساويتان يعني أن لهما نفس مجموعة التعريف `D` وأن من أجل كل عدد حقيقي `x` من `D` لدينا : `f(x)=g(x)` ونكتب : `f=g`

مثال :

نعتبر الدالتين `f`و `g` حيث : `f(x)=(x^2+3x+2)/(x+2)` و `g(x)=x+1`
1. أوجد مجموعة التعريف كلا من `f`و `g`
2. بين أنه من أجل كل عدد حقيقي `x` من `\mathbb R` فإن : `(x+2)(x+1)=x^2+3x+2`
3. بين أنه من أجل كل عدد حقيقي `x` من `D_f` فإن : `f(x)=x+1`
4. أحسب `g(-2)`، هل يمكن حساب صورة `-2` بالدالة `f` (برر جوابك)
5. هل الدالتين `f` و `g` متساويتين ؟
6. نعتبر الدوال `f_1` ، `f_2` ، `f_3` و `f_4` المعرفة على المجال `\mathbb R -{-2} ` كما يلي :
`f_1(x)=f(x)+g(x) `, `f_2(x)=f(x) times g(x) `, `f_3(x)=-2f(x)`

و `f_4(x)=g(x)+1`
- عين بدلالة `x`عبارة كل من `f_1` ، `f_2` ، `f_3` و `f_4` .

الحل : 

الدالتان `f`و `g` : `f(x)=(x^2+3x+2)/(x+2)` و `g(x)=x+1` 

1. إيجاد  مجموعة التعريف كلا من  `f`و `g` 

- الدالة `f` معرفة عندما يكون : `x +2 ne 0` أي    `x ne -2` ومنه : `D_f= mathbb R - {-2}`

- بما أنه لا توجد قيمة ممنوعة للدالة `g`  فإن :  `D_g= mathbb R`

2. تبيان  أنه من أجل كل عدد حقيقي `x` من `\mathbb R`  فإن : `(x+2)(x+1)=x^2+3x+2`  

- من أجل كل عدد حقيقي `x`من `mathbb R` لدينا : 

`(x+2) (x+1) =x^2+ x+2x+2=x^2+3x +2`

3. تبيان  أنه من أجل كل عدد حقيقي `x` من `D_f` فإن : `f(x)=x+1` 

- من أجل كل عدد حقيقي `x` من `D_f` لدينا : 

`f(x)=(x^2+3x+2)/(x+2) = (x+2)(x+1)/(x+2)=x+1`

4. حساب  `g(-2)`،  `g(-2) = -1` لا  يمكن حساب صورة `-2` بالدالة `f`  لأن الدالة  `f`   غير معرفة عند `-2`

5. الدالتين `f` و `g` غير متساويتان لأنه ليس لهما نفس مجموعة التعريف 

6.  التعبير بدلالة `x` عن عبارة  الدوال `f_1` ، `f_2` ، `f_3` 

و `f_4` المعرفة على المجال `\mathbb R -{-2} ` كما يلي : 

`f_1(x)=f(x)+g(x)=x+1+x+1= 2(x+1) `,

 `f_2(x)=f(x) times g(x)=(x+1)^2 `, `f_3(x)=-2f(x)=-2(x+1)`و `f_4(x)=g(x)+1=x+2`