دراسة تغيرات الدوال العددية - السنة الثانية ثانوي

تمرين 1

نعتبر الدالة `f` المعرفة على `]-infty ; 2[ \cup]2;+infty[` بـ `f(x)=(3x-5)/(x-2)`

1- تحقق  أنه من أجل كل `x` من  `]-infty ; 2[ \cup]2;+infty[` لدينا `f(x)=1/(x-2)+3` 

2- أدرس اتجاه تغير الدالة `f` على كل من المجالين `]-infty ; 2[` و `]2;+infty[`

الحل 

1- ننطلق من الشكل المعطى ثم نقوم بتوحيد المقامات: من أجل كل `x` من `]-infty;2[\cup]2;+infty[`

`f(x)=(3x-5)/(x-2)=(1+3x-6)/(x-2)=(1+3(x-2))/(x-2)=1/(x-2)+3`

2- لنعين اتجاه تغير الدالة `f` على المجال `]2;+infty[`

ليكن `a` و `b` عددين من المجال `]2;+infty [`  حيث : `2<a<b`  ومنه `0<a-2<b-2`  (بطرح العدد 2) ، 

وبما أن الدالة "مقلوب" متناقصة تماما على `]0;+infty[` فإن  `1/(a-2)>1/(b-2)` ومنه `1/(a-2)+3>1/(b-2)+3`

نجد إذن `f(a)>f(b)`

نتستنتج أن الدالة `f`متناقصة تماما على المجال `]2;+infty[`

 اتجاه تغير الدالة `f` على المجال `]-infty;2[`

ليكن `a` و `b` عددين من المجال `]-infty;2[`حيث : `a<b<2` ومنه `a-2<b-2<0` (بطرح العدد 2) ،

 وبما أن الدالة "مقلوب" متناقصة تماما على `]-infty;0[`فإن    `1/(a-2)>1/(b-2)` ومنه `1/(a-2)+3>1/(b-2)+3`

نجد إذن `f(a)>f(b)`

نتستنتج أن الدالة `f`متناقصة تماما على المجال `]-infty;2[`

التمثيل البياني : 

تمرين 03 : 

لتكن `f` الدالة المعرفة على المجال `]-infty;0[\cup]0;+infty[` بـ `f(x)=(x+1)/x`

1- تحقق أنه من أجل كل عددد حقيقي غير معدوم `x` لدينا  :  `f(x)=1/x +1` 

2- أرسم في معلم ، التمثيل البياني للدالة `f`انطلاقا من التنمثيل البياني للدالة "مقلوب" 

 الحل : 

1. من أجل `x ne 0` لدينا :  `f(x)=x/x + 1/x =1/x+1`

2. إذا اعتبرنا الدالة `h` المعرفة على `]-infty;0[\cup]0;+infty[`  بـ `h=1/x` يكون لدينا `f=h+1`

إذن ، في معلم `(O;vec i ; vec j )` المنحنى الممثل للدالة `f` هو صورة القطع الزائد الممثل للدالة `h`بالانسحاب الذي شعاعه `vec j`

تمرين 04 

نعتبر الدالتين `f`و `g` المعرفتين على `\mathbb{R}` بـ `f(x)=x^2-4` و `g(x)=abs(x)`، نسمي `(C_f)` و `(C_g)` تمثيلاهما البيانيان على الترتيب في معلم `(O;vec i ; vec j)`

1- أرسم المنحنى `(C_f)`  انطلاقا من `(C_h)` التمثيل البياني للدالة `h:x mapsto  x^2`  (`h`هي الدالة "مربع" )

2- بين كيف يمكن استنتاج `(C_g )` انطلاقا من `(C_f)` ثم ارسمه.

الحل 

1. `(C_f)` هو صورة `(C_h)` بالانسحاب الذي شعاعه  `-4 vec j`

2, إذا كان `f(x) ge 0` فإن `g(x) =f(x)` و إذا كان `f(x) le 0`  فإن `g(x)=-f(x)`

إذن بالنسبة للأعداد `x` التي تحقق `f(x) ge 0` يكون `(C_g)` منطبقا على `(C_f)` وبالنسبة للأعداد `x` التي تحقق `f(x) le 0`  يكون `(C_g)` منطبقا على `(C_-f)` ونعلم أن `(C_-f)` هي نظيرة `(C_f)` بالنسبة لمحور الفواصل .