القيمة المطلقة والمسافة

I) القيمة المطلقة `abs(x)`

1) تعريف القيمة المطلقة :

الهدف من القيمة المطلقة هو جعل جميع القيم موجبة، ومنه نستنتج أن القيمة المطلقة تترك العدد الموجب لحاله بينما تسبق العدد السالب بإأشارة (-) ليصبح موجب.

مثال :

`abs(3)=3`
`abs(-5)=-(-5)=5`
إذن القاعدة : بما أن `x` مجهول فهناك حالتان إما موجب أو سالب.

$|x| = \begin{cases} x & \text{ if } x\ge 0 \\ -x & \text{ if } x \lt 0 \end{cases}$ 

أي :

$|x| = \begin{cases} x & \text{ if } x \in [0;+\infty[ \\ -x & \text{ if } x \in ]-\infty;0] \end{cases}$ 

2) خواص القيمة المطلقة : 

`abs(x)=abs(-x)`

`abs(x) \times abs(y)=abs(x \times y) `

`abs(x/y)=abs(x)/abs(y) ; y ne 0`

• إذا كان `x` و `y` مختلفين في الإشارة : `abs(x+y) lt abs(x)+ abs(y)`
• إذا كان `x` و `y` من نفس الإشارة : `abs(x+y) = abs(x)+ abs(y)`
• `sqrt(x^2)=abs(x)`

II] المسافة : 

1)المسافة بين نقطتين :

المسافة بين نقطتين   `A` و `B` فاصلاتهما `a` و `b` على الترتيب من مستقيم مزود بملعم $(O; \overrightarrow{I})$  هي : 

`AB=abs(a-b)=abs(b-a)`

2) المسافة بين  عددين : 

المسافة بين عدد `x` و `y` هي:

 `d(x;y)=abs(x-y)=abs(y-x)`

العلاقة بين المجال ، الحصر، المسافة والقيمة المطلقة : 

• عناصر المجال : `[a;b]`
  
  
  

 مركزه : `c=(a+b)/2` 

طوله (قطره) : `b-a` 

نصف قطره : `r=(b-a)/2` 

حده : `a=c-r` 

حده : `b=c+r` 

من أجل كل: `x in [a;b] `

•   `x in [c-r; c+r] `
•  `c-r le x le c+r`
•  `d(x;c) le r` 
• `abs(x-c) le r` 

الجدول:

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
`x in [a;b]`	` a le x le b `	`d(x;c) le r `	`abs(x-c) le r `

ملأ الجدول :

 $\Longleftarrow$

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
`x in [a;b] `	`a le x le b`	`d(x;(a+b)/2) le (b-a)/2 `	`abs(x-(a+b)/2) le (b-a)/2 `

ملأ الجدول :

 $\Longrightarrow$

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
`x in [c-r;c+r] `	`c-r le x le c+r`	`d(x;c) le r `	`abs(x-c) le r`

الطريقة :

$\begin{cases} c= \frac{a+b}{2}\\ r=\frac{b-a}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a= c-r\\ b=c+r \end{cases}$

التمرين الأول:

 1) `(D)` مستقيم مزود بمعلم $(O;\overrightarrow{I})$، `M` نقطة متحركة على المستقيم `(D)`فاصلتها `x`

 `A` و `B` النقطتان من المستقيم `(D)` فاصلتاهما  `-2` و `4` على الترتيب. 

أ- عبر عن `AM` و `BM` بدلالة `x` 

 ب- عين قيم العدد الحقيقي `x` التي يكون من أجلها : `abs(x+2) lt 4` . 

ج- عين قيم العدد الحقيقي `x` التي يكون من أجلها : `abs(x+2) le abs(x-4)`

2) نعتبر المجالين `I` و `J` حيث : `I=]-4;2[` و `J=]- infty; 1]`، عين `I capJ` و `I cupJ` 

أنقل ثم أكمل الجدول التالي :

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
			`abs(x+3) le2`
		`d(x;-4) le 4`
	`-3 ltx lt 1`
`]-1/4; 1/2[`

الحل :

 1- : 

أ - `AM= |x+2|`; `BM=|x-4|`

ب- قيم `x` من أجل : `|x+2|<4`

`|X+2| <4 Rightarrow -4 < x+2<4 Rightarrow -6 <x<2 `

أي : `x in ] -6;2[`

ج- `|x+2| le |x-4|`

$
|x+2| =
\begin{cases}
x+2 & \text{ if } x \in [-2;+\infty[ \\
-x-2 & \text{ if } x \in ]-\infty;-2]
\end{cases}
$
$
|x-4| =
\begin{cases}
x-4 & \text{ if } x \in [4;+\infty[ \\
-x+4 & \text{ if } x \in ]-\infty;4]
\end{cases}
$

1- `x in ]-infty;-2]`: 

 في المجال : `x in ]-infty;-2]` :

 `abs(x+2)= -x-2`

 `abs(x-4)=4-x` 

`abs(x+2) le abs(x-4) Rightarrow -x-2 le 4-x` 

أي : `-2 le 4 `

بما أن `-2 le 4 `  مهما تكون قيمة `x`  وبالتالي المتراجحة محققة في المجال : 

 `I_1 = ]-infty;-2]` 

2- من أجل :  `x in [-2;4]` :

 نحصل على : 

`x+2 le 4-x Rightarrow 2x le 2 Rightarrow x le 1` 

ومنه تكون المتراجحة صحيحة أيضا في المجال : `I_2 = [-2;1]` 

3-`x in [4;+infty]` 

نحصل على : `x+2 le x-4` أي : `2 le -4` 

وهذا مستحيل

 ومنه  قيم `x` التي تحقق المتراحجة هي : 

 `I_1 cup I_2 = ]-infty ; 1]`

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
`x in [-5;-1]`	`-5 le x le -1`	`d(x;-3) le 2`	`abs(x+3) le2`
`x in [-8;0]`	`-8 le x le 0`	`d(x;-4) le 4`	`abs(x+4) le 4`
`x in ]-3;1[`	`-3 lt x lt 1`	`d(x;-1) lt 2`	`abs(x+1) lt 2`
`]-1/4; 1/2[`	`-1/4 lt x lt 1/2`	`d(x;1/8) lt 3/8`	`abs(x-1/8) lt 3/8`