المرافق في الجيل الثاني: القيمة المطلقة والمسافة

I) القيمة المطلقة $abs(x)$

1) تعريف القيمة المطلقة :

الهدف من القيمة المطلقة هو جعل جميع القيم موجبة، ومنه نستنتج أن القيمة المطلقة تترك العدد الموجب لحاله بينما تسبق العدد السالب بإأشارة (-) ليصبح موجب.

مثال :

$abs(3)=3$

$abs(-5)=-(-5)=5$
إذن القاعدة : بما أن

$x$ مجهول فهناك حالتان إما موجب أو سالب.

$|x| = \begin{cases} x & \text{ if } x\ge 0 \\ -x & \text{ if } x \lt 0 \end{cases}$

أي :

$|x| = \begin{cases} x & \text{ if } x \in [0;+\infty[ \\ -x & \text{ if } x \in ]-\infty;0] \end{cases}$

2) خواص القيمة المطلقة :

$abs(x)=abs(-x)$

$abs(x) \times abs(y)=abs(x \times y)$

$abs(x/y)=abs(x)/abs(y) ; y ne 0$

إذا كان $x$ و $y$ مختلفين في الإشارة : $abs(x+y) lt abs(x)+ abs(y)$
إذا كان $x$ و $y$ من نفس الإشارة : $abs(x+y) = abs(x)+ abs(y)$
$sqrt(x^2)=abs(x)$

II] المسافة :

1)المسافة بين نقطتين :

المسافة بين نقطتين

$A$ و

$B$ فاصلاتهما

$a$ و

$b$ على الترتيب من مستقيم مزود بملعم

$(O; \overrightarrow{I})$ هي :

$AB=abs(a-b)=abs(b-a)$

2) المسافة بين عددين :

المسافة بين عدد

$x$ و

$y$ هي:

$d(x;y)=abs(x-y)=abs(y-x)$

العلاقة بين المجال ، الحصر، المسافة والقيمة المطلقة :

عناصر المجال : $[a;b]$

مركزه :

$c=(a+b)/2$

طوله (قطره) :

$b-a$

نصف قطره :

$r=(b-a)/2$

حده :

$a=c-r$

حده :

$b=c+r$

من أجل كل:

$x in [a;b]$

$x in [c-r; c+r]$
$c-r le x le c+r$
$d(x;c) le r$
$abs(x-c) le r$

الجدول:

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
$x in [a;b]$	$a le x le b$	$d(x;c) le r$	$abs(x-c) le r$

ملأ الجدول :

$\Longleftarrow$

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
$x in [a;b]$	$a le x le b$	$d(x;(a+b)/2) le (b-a)/2$	$abs(x-(a+b)/2) le (b-a)/2$

ملأ الجدول :

$\Longrightarrow$

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
$x in [c-r;c+r]$	$c-r le x le c+r$	$d(x;c) le r$	$abs(x-c) le r$

الطريقة :

$\begin{cases} c= \frac{a+b}{2}\\ r=\frac{b-a}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a= c-r\\ b=c+r \end{cases}$

التمرين الأول:

$(D)$ مستقيم مزود بمعلم

$(O;\overrightarrow{I})$ ،

$M$ نقطة متحركة على المستقيم

$(D)$ فاصلتها

$x$

$A$ و

$B$ النقطتان من المستقيم

$(D)$ فاصلتاهما

$-2$ و

$4$ على الترتيب.

أ- عبر عن

$AM$ و

$BM$ بدلالة

$x$

ب- عين قيم العدد الحقيقي

$x$ التي يكون من أجلها :

$abs(x+2) lt 4$ .

ج- عين قيم العدد الحقيقي

$x$ التي يكون من أجلها :

$abs(x+2) le abs(x-4)$

2) نعتبر المجالين

$I$ و

$J$ حيث :

$I=]-4;2[$ و

$J=]- infty; 1]$ ، عين

$I capJ$ و

$I cupJ$

أنقل ثم أكمل الجدول التالي :

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
			$abs(x+3) le2$
		$d(x;-4) le 4$
	$-3 ltx lt 1$
$]-1/4; 1/2[$

الحل :

1- :

أ -

$AM= |x+2|$ ;

$BM=|x-4|$

ب- قيم

$x$ من أجل :

$|x+2|<4$

$|X+2| <4 Rightarrow -4 < x+2<4 Rightarrow -6 <x<2$

أي :

$x in ] -6;2[$

ج-

$|x+2| le |x-4|$

$|x+2| = \begin{cases} x+2 & \text{ if } x \in [-2;+\infty[ \\ -x-2 & \text{ if } x \in ]-\infty;-2] \end{cases}$

$|x-4| = \begin{cases} x-4 & \text{ if } x \in [4;+\infty[ \\ -x+4 & \text{ if } x \in ]-\infty;4] \end{cases}$

$x in ]-infty;-2]$ :

في المجال :

$x in ]-infty;-2]$ :

$abs(x+2)= -x-2$

$abs(x-4)=4-x$

$abs(x+2) le abs(x-4) Rightarrow -x-2 le 4-x$

أي :

$-2 le 4$

بما أن

$-2 le 4$ مهما تكون قيمة

$x$ وبالتالي المتراجحة محققة في المجال :

$I_1 = ]-infty;-2]$

2- من أجل :

$x in [-2;4]$ :

نحصل على :

$x+2 le 4-x Rightarrow 2x le 2 Rightarrow x le 1$

ومنه تكون المتراجحة صحيحة أيضا في المجال :

$I_2 = [-2;1]$

$x in [4;+infty]$

نحصل على :

$x+2 le x-4$ أي :

$2 le -4$

وهذا مستحيل

ومنه قيم

$x$ التي تحقق المتراحجة هي :

$I_1 cup I_2 = ]-infty ; 1]$

المجال	الحصر	المسافة	القيمة المطلقة
$x in [-5;-1]$	$-5 le x le -1$	$d(x;-3) le 2$	$abs(x+3) le2$
$x in [-8;0]$	$-8 le x le 0$	$d(x;-4) le 4$	$abs(x+4) le 4$
$x in ]-3;1[$	$-3 lt x lt 1$	$d(x;-1) lt 2$	$abs(x+1) lt 2$
$]-1/4; 1/2[$	$-1/4 lt x lt 1/2$	$d(x;1/8) lt 3/8$	$abs(x-1/8) lt 3/8$

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

القيمة المطلقة والمسافة

I) القيمة المطلقة $abs(x)$

1) تعريف القيمة المطلقة :

مثال :

2) خواص القيمة المطلقة :

II] المسافة :

1)المسافة بين نقطتين :

2) المسافة بين عددين :

العلاقة بين المجال ، الحصر، المسافة والقيمة المطلقة :

عناصر المجال : $[a;b]$

التمرين الأول:

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

الصفحات

القيمة المطلقة والمسافة

I) القيمة المطلقة |x|abs(x)

1) تعريف القيمة المطلقة :

مثال :

2) خواص القيمة المطلقة :

II] المسافة :

1)المسافة بين نقطتين :

2) المسافة بين عددين :

العلاقة بين المجال ، الحصر، المسافة والقيمة المطلقة :

عناصر المجال : [a;b][a;b]

التمرين الأول:

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة

I) القيمة المطلقة $abs(x)$

عناصر المجال : $[a;b]$