تمارين محلولة - الأعداد العشرية والأعداد الناطقة

الانتقال من الكتابة العشرية إلى الكتابة الكسرية
اختبار أولية عدد طبيعي
تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية
معرفة إن كان عدد ناطق عددا عشريا

التمرين الأول : 

بسط الأعداد التالية ، ثم أذكر أصغر مجموعة تنتمي إليها :

`A=(sqrt(sqrt(11)))^4`
`B=(2 pi +4)/(3pi+6)`
`C=sqrt(5-2sqrt(6))\times sqrt(5+2sqrt(6))`
`D=sqrt(sqrt(3^8))`
`E=((1+10^-8)^2-1)/10^-8` 
`F=sqrt(6-sqrt(7/2+(sqrt(12)+sqrt(27))/sqrt(300)))`  
`G=1+1/(2+1/(1+sqrt(2)))` 
`H=(1+1/2)/(1+1/(1+1/3))`

الحل : 

`A=(sqrt(sqrt(11)))^4=(sqrt(11))^2=11`

 `B=(2 pi +4)/(3pi+6)=(2(pi+2))/(3(pi+2))=2/3`

`C=sqrt(5-2sqrt(6))\times sqrt(5+2sqrt(6))=sqrt(5^2-(2sqrt(6))^2)=sqrt(25-24)=1`

`D=sqrt(sqrt(3^8))=sqrt(3^4)=3^2=9`

`E=((1+10^-8)^2-1)/10^-8=((1+10^-8-1)(1+10^-8+1))/10^-8=2+10^-8` 

 `F=sqrt(6-sqrt(7/2)+(sqrt(12)+sqrt(27))/sqrt(300))=`

 `sqrt(6-sqrt(7/2)+(2sqrt(3)+3sqrt(3))/(10sqrt(3)))=` 

 `sqrt(6-sqrt(7/2)+(5sqrt(3))/(10sqrt(3)))= `

`sqrt(6-sqrt(7/2+1/2))=sqrt(6-sqrt(4))=sqrt(6-2)=2`

`G=1+1/(2+1/(1+sqrt(2)))=?`

نضع :

`a=1/(1+sqrt(2))=(\color{red}{1-sqrt(2)})/((1+sqrt(2))(\color{red}{1-sqrt(2)}))`

`a=sqrt(2)-1`

ومنه : 

`G=1+1/(2+1/(1+sqrt(2)))=1+1/(2+a)=1+1/(2+sqrt(2)-1)=`

`1+a=1+sqrt(2)-1=sqrt(2)`

`H=(1+1/2)/(1+1/(1+1/3))=(3/2)/(7/4)=3/2 \times 4/7=6/7`

• تصنيف الأعداد إلى أصغر مجموعة تنتمي إليها :

`A in \mathbb N`

`B in \mathbb Q`

`C in \mathbb N`

`D in \mathbb N`

`E in \mathbb D`

`F in \mathbb N`

`G in \mathbb R`

`H in \mathbb Q`

التمرين الثاني :

1) حلل كلا من العددين 1386 و 999 إلى حداء عوامل أولية

2) أحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 1386 و 999

3) نضع : `a=1,underline{387}387397.....`

أ- ما هي طبيعة العدد `a`

ب- بين أن : `a=1386/999`

ج- أكتب العدد `a` على شكل كسر غير قابل للاختزال.

الحل : 

1) التحليل : `999=3^3 \times 37`، `1386=2 \times 3^2 \times 7 \times 11`

2) `PGCD(999;1386)=3^2=9`

3)  `a=1,underline{387}387397.....`

أ- طبيعة العدد `a` : ناطق

ب- تبيان أن : `a=1386/999`

- الكتابة الكسرية للعدد :  `a=1,underline{387}387397.....`  هي الكتابة الكسرية للعدد : `a=1+0,underline{387}387397.....`

نضع : `x=0,387387387.......` ومنه : `a=1+x`

انطلاقا من : 

`x=0,387387387.......` 

`1000x=387,387387.......`

`1000x-x=387`

`x(1000-1)=387`

`999x=387`

`x=387/999`

`a=1+x`

`a=1+397/999=(999+397)/999`

`a=1386/999`

ج- كتابة العدد `a` على شكل كسر غير قابل للاختزال : 

`a=(1386 \div 9)/(999 div 9)=154/111`