عمليات على الجذور التربيعية : تبسيط العبارات

 تمرين 1: 

أكتب على أبسط شكل العبارة التالية :

 `A=2sqrt(112) -3sqrt(175)+sqrt(343)` 

الحل:

 لدينا :

 `A=2sqrt(112) -3sqrt(175)+sqrt(343)` 

`A=2sqrt(16 \times 7) -3sqrt(25 \times 7)+sqrt(49 \times 7)`

 `A=sqrt(7)(2sqrt(16) -3sqrt(25)+sqrt(49))` 

 `A=sqrt(7)(2 \times 4 -3\times 5+7)` 

`A=sqrt(7)(8 -15+7)`

 `A=sqrt(7)(0)` 

`A=0` 

تمرين 2

  أكتـب على أبسط شكـل العــبارة

`X=-2sqrt(108)+5sqrt(75)+sqrt(363)`

الحل:

`X=-2sqrt(108)+5sqrt(75)+sqrt(363)`
`X=-2sqrt(3 times 36)+5sqrt(3 times 25)+sqrt(3 times 121)`
`X=sqrt(3)(-2)\sqrt(36)+5sqrt(3)\sqrt( 25)+sqrt(3) \sqrt(121)`
`X=sqrt(3)(-2sqrt(36)+5\sqrt( 25)+\sqrt(121))`
`X=sqrt(3)(-2 \times 6+5\times 5+11)`

`X=sqrt(3)(-12+25+11)`
`X=24sqrt(3)`

تمرين 3

بسط ما يلي :

`7 sqrt(24)+10sqrt(54) - 2sqrt(150)`

الحل :

`7 sqrt(24)+10sqrt(54) - 2sqrt(150)`
`=7 sqrt(4 times 6)+ 10 sqrt(9 times 6) -2 sqrt(25 \times 6)`
`=7 \times 2 sqrt(6)+ 10 times 3\sqrt(6) -2 \times 5 sqrt( 6)`
`=14sqrt(6)+ 30\sqrt(6) -10sqrt( 6)`
`=34sqrt( 6)`

تمرين 4 :

 بسط العبارة التالية

`(sqrt(2)-sqrt(3))*(sqrt(2)+sqrt(3))`

الحل :

`(sqrt(2)-sqrt(3))*(sqrt(2)+sqrt(3))=`
`(sqrt(2)^2-sqrt(3)^2)=2-3=-1`

تمرين 5 :

 `x` و `y` عددان حقيقيان موجبان تماما نضع :

 `A=(x+y)/2`، `G=sqrt(xy)` ،`Q=sqrt((x^2+y^2)/2)`,  `H=2/(1/x+1/y)` 

1) أ- أنشر `(sqrt(x)-sqrt(y))^2` 

ب- أحسب `A-G` ثم استنتج أن `A ge G` 

 2) بين أن : `G-H=(sqrt(xy))/(x+y)(sqrt(x)-sqrt(y))^2` ثم استنتج أن `G ge H` 

 3) بين أن `Q ge A` 

4) مما سبق استنتج مقارنة بين الأعداد : `Q, G, A` و `H`

الحل :

1) أنشر : `(sqrt(x)-sqrt(y))^2`

`(sqrt(x)-sqrt(y))^2=x+y-2sqrt(xy)`

`(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2(x+y)/2-2sqrt(xy)`

`(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2[(x+y)/2-sqrt(xy)]`

`(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2[A-G]`

ب- حساب `A-G` 

مما سبق نلاحظ : 

`A-G=1/2(sqrt(x)-sqrt(y))^2`

الاستنتاج بأن `A geG` 

بمأن `A-G=1/2(sqrt(x)-sqrt(y))^2`

و 

`1/2 gt 0`

`(sqrt(x)-sqrt(y))^2 ge 0`

فإن :

`A-G ge 0`

أي 

`A ge G`

2) حساب قيمة : `G-H` 

لدينا : 

`H=2/(1/x+ 1/y)=(2xy)/(x+y)`

`G-H=G-(2xy)/(x+y)`

`G-H=G-G^2/A`

`G-H=(GA-G^2)/A=(G(A-G))/A`

`G-H=(sqrt(xy)((sqrt(x)-sqrt(y))^2/2))/((x+y)/2)`

`G-H=sqrt(xy)/(x+y)(sqrt(x)-sqrt(y))^2`

استنتاج أن `G ge H`

بما أن :

`x >0` , `y>0`, `sqrt(xy) >0`, `x+y>0`, `sqrt(xy)/(x+y)>0`, `(sqrt(x)-sqrt(y))^2 ge 0`

فإن :

`G -H ge 0`

أي :

`G ge H`

3) ` Q ge A`

`Q=sqrt((x^2+y^2)/2)`

لدينا : 

`2Q^2=x^2+y^2 `

`4A^2=(x+y)^2=x^2+y^2-2xy`

`2Q^2-4A^2=2xy`

 `Q^2-2A^2=xy`

بمأن `x ge 0`; `y ge 0 ` فإن  `xy ge 0 `

ومنه :

`Q^2-2A^2 ge 0`

 `Q^2 ge 2A^2 `

وبما أن `A ge 0`  و `Q ge 0`

فإن 

`Q ge A`

4) مما سبق لدينا :

`A ge G`

G ge H

Q ge A

ومنه نستنتج أن :

`Q ge A ge G ge H`