المرافق في الجيل الثاني: عمليات على الجذور التربيعية : تبسيط العبارات

تمرين 1:

أكتب على أبسط شكل العبارة التالية :

$A=2sqrt(112) -3sqrt(175)+sqrt(343)$

الحل:

لدينا :

$A=2sqrt(112) -3sqrt(175)+sqrt(343)$

$A=2sqrt(16 \times 7) -3sqrt(25 \times 7)+sqrt(49 \times 7)$

$A=sqrt(7)(2sqrt(16) -3sqrt(25)+sqrt(49))$

$A=sqrt(7)(2 \times 4 -3\times 5+7)$

$A=sqrt(7)(8 -15+7)$

$A=sqrt(7)(0)$

$A=0$

تمرين 2

أكتـب على أبسط شكـل العــبارة

$X=-2sqrt(108)+5sqrt(75)+sqrt(363)$

الحل:

$X=-2sqrt(108)+5sqrt(75)+sqrt(363)$

$X=-2sqrt(3 times 36)+5sqrt(3 times 25)+sqrt(3 times 121)$

$X=sqrt(3)(-2)\sqrt(36)+5sqrt(3)\sqrt( 25)+sqrt(3) \sqrt(121)$

$X=sqrt(3)(-2sqrt(36)+5\sqrt( 25)+\sqrt(121))$

$X=sqrt(3)(-2 \times 6+5\times 5+11)$

$X=sqrt(3)(-12+25+11)$

$X=24sqrt(3)$

تمرين 3

بسط ما يلي :

$7 sqrt(24)+10sqrt(54) - 2sqrt(150)$

الحل :

$7 sqrt(24)+10sqrt(54) - 2sqrt(150)$

$=7 sqrt(4 times 6)+ 10 sqrt(9 times 6) -2 sqrt(25 \times 6)$

$=7 \times 2 sqrt(6)+ 10 times 3\sqrt(6) -2 \times 5 sqrt( 6)$

$=14sqrt(6)+ 30\sqrt(6) -10sqrt( 6)$

$=34sqrt( 6)$

تمرين 4 :

بسط العبارة التالية

$(sqrt(2)-sqrt(3))*(sqrt(2)+sqrt(3))$

الحل :

$(sqrt(2)-sqrt(3))*(sqrt(2)+sqrt(3))=$

$(sqrt(2)^2-sqrt(3)^2)=2-3=-1$

تمرين 5 :

$x$ و

$y$ عددان حقيقيان موجبان تماما نضع :

$A=(x+y)/2$ ،

$G=sqrt(xy)$ ،

$Q=sqrt((x^2+y^2)/2)$ ,

$H=2/(1/x+1/y)$

1) أ- أنشر

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

ب- أحسب

$A-G$ ثم استنتج أن

$A ge G$

2) بين أن :

$G-H=(sqrt(xy))/(x+y)(sqrt(x)-sqrt(y))^2$ ثم استنتج أن

$G ge H$

3) بين أن

$Q ge A$

4) مما سبق استنتج مقارنة بين الأعداد :

$Q, G, A$ و

$H$

الحل :

1) أنشر :

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2=x+y-2sqrt(xy)$

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2(x+y)/2-2sqrt(xy)$

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2[(x+y)/2-sqrt(xy)]$

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2=2[A-G]$

ب- حساب

$A-G$

مما سبق نلاحظ :

$A-G=1/2(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

الاستنتاج بأن

$A geG$

بمأن

$A-G=1/2(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

$1/2 gt 0$

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2 ge 0$

فإن :

$A-G ge 0$

أي

$A ge G$

2) حساب قيمة :

$G-H$

لدينا :

$H=2/(1/x+ 1/y)=(2xy)/(x+y)$

$G-H=G-(2xy)/(x+y)$

$G-H=G-G^2/A$

$G-H=(GA-G^2)/A=(G(A-G))/A$

$G-H=(sqrt(xy)((sqrt(x)-sqrt(y))^2/2))/((x+y)/2)$

$G-H=sqrt(xy)/(x+y)(sqrt(x)-sqrt(y))^2$

استنتاج أن

$G ge H$

بما أن :

$x >0$ ,

$y>0$ ,

$sqrt(xy) >0$ ,

$x+y>0$ ,

$sqrt(xy)/(x+y)>0$ ,

$(sqrt(x)-sqrt(y))^2 ge 0$

فإن :

$G -H ge 0$

أي :

$G ge H$

$Q ge A$

$Q=sqrt((x^2+y^2)/2)$

لدينا :

$2Q^2=x^2+y^2$

$4A^2=(x+y)^2=x^2+y^2-2xy$

$2Q^2-4A^2=2xy$

$Q^2-2A^2=xy$

بمأن

$x ge 0$ ;

$y ge 0$ فإن

$xy ge 0$

ومنه :

$Q^2-2A^2 ge 0$

$Q^2 ge 2A^2$

وبما أن

$A ge 0$ و

$Q ge 0$

فإن

$Q ge A$

4) مما سبق لدينا :

$A ge G$

G ge H

Q ge A

ومنه نستنتج أن :

$Q ge A ge G ge H$

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

عمليات على الجذور التربيعية : تبسيط العبارات

تمرين 1:

تمرين 2

تمرين 3

تمرين 4 :

تمرين 5 :

الحل :

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة