القوى الصحيحة وخواصها

تعريف : `a` عدد حقيقي كيفي و `n` عدد طبيعي غير معدوم، نسمي القوة ذات الرتبة `n` للعدد الحقيقي `a` ، العدد `a^n` حيث : `a^n= \underbrace{a \times a times a \cdots \times a}_{\text{ ﺍﻠﻣﺎﻋ} n }`
من أجل كل عدد حقيقي `a` غير معدوم و `n` عدد طبيعي معدوم ، `a^-n=1/a^n`

اصطلاح : من أجل كل عدد حقيقي `a` غير معدوم : `a^0=1` 

أمثلة :

`10^4 = 10 \times 10 \times 10\times 10` ;

 `10^-3=1/10^3=1/1000=0.001`

`2^4=2 \times 2 \times 2 \times 2`

`(0.5)^-2=1/(0.5)^2=1/0.25=4`

`a^-1=1/a; a ne 0`

نشاط : 

1-أحسبب `2^3 \times 2^2 `

لدينا :

`2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8`

`2^2= 2 \times 2 = 4`

 `2^3 \times 2^2 = 8 \times 4 = 32 `

2-أحسب :  `2^(3+2)`

لدينا : 

`2^(3+2) = 2^5 =2 \times 2  \times 2 \times 2 \times 2=32`

مما سبق نستنتج أن :

`2^3 \times 2^2 =2^(3+2)`

أحسب : `3^2 \times 5^2` ، `(3 \times 5)^2` ، ثم قارن بينهما : 

لدينا : 

`3^2 \times 5^2 = 9 \times 25 = 255`

`(3 \times 5)^2=15^2=15 \times 15 = 255`

ومنه : 

`(3 \times 5)^2 =3^2 \times 5^2`

5- أحسب : `(2^3)^2 , 2^(3 \times 2)` ثم قارن بينهما.

لدينا :

`(2^3)^2=(2 \times 2 \times 2)^2=(8)^2=8 \times 8=64`

كذلك :

`2^(3 \times 2)=2^6=2 \times 2 \times 2\times 2 \times 2 \times 2= 64`

ومنه : 

`(2^3)^2=2^(3 \times 2)`

خواص : `a` و `b` عددان حقيقيان غير معدومين  `m` و `n` عددان صحيحان نسبيان .

`a^m \times a^n=a^(m+n)`; 

`(a^m)^n=a^(m\times n)`;

`a^m/a^n=a^(m-n)`;

 `(a \times b)^m=a^m \times b^m`;

 `(a/b)^m=a^m/b^m`

حالات خاصة :

- من أجل كلّ عدد حقيقي `a` غير معدوم وكلّ عدد طبيعي `n` غير معدوم :

 `a^n \times a^-n=a^0=1`

- من أجل كلّ عدد طبيعي `n`:

- إذا كان `n` زوجيا ، فإن : `(-1)^n=1`

- إذا كان `n` فرديا : فإن : `(-1)^n=-1`

ملاحظة :

من أجل كلّ عدد حقيقي `a` غير معدوم وكل عدد طبيعي `n` غير معدوم ، إذا كان `n` فردي و `a` سالب فإن `a^n` يكون سالبا.

أمثلة :

`2^5 \times 2^-3=2^(5-3)=2^2`;

 `(2^5)^-3=2^(5 \times (-3)=2^-15`;

 `2^5/2^-3=2^(5-(-3))=2^8`

تمارين :

تمرين 26 ص 19 : عين إشارة كل من الأعداد التالية :

`(-3)^5; (-5)^8; -3^5; 10^-3; (-3^3)^2`

تمرين 27 ص 19 : أحسب :

1) `2^2 \times 3^2`; `2^2 \times 3^2 \times 5`; `2^3 + 3^2`;
2) `(1/2)^2 \times 3^2`; `(1/3)^2 \times (3/2)^3`; `2 \times (1/2) \times (4/5)^2`
3) `(- 1/2)^2 \times (- 1/3)^3`; `(-5/4) \times (4/5)^2 \times (- 2/5)`

تمرين 28 ص 20 : أحسب :

`A= ((-2)^5 \times (-6)^3 \times (-3)^8)/((15)^2 \times (-12)^3)`

تمرين 29. ص 20 : اختصر العبارات التالية : 

`A= (2^3 ×2^-4)^2×(3^3)^2×3^-5`; `B=2^3×2^4×2^-5`

`C=(2/3)^2×3^3`; `D=(2^3×3^2)^2`;

`E=(- 1/3)^2×5^-2×(3/5)^3`;

`F=(2/7)^4×(7/4)^2×(-49/2)^3`;

`G=(2/3)^-2×(3/4)^4×(27/4)^-1`.

حل التمارين