المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

المتطابقات الشهيرة :

تعريف : 

من أجل كل عددين `a` و `b`تسمى المساويات الآتية متطابقات شهيرة :

`(a+b)^2 =a^2+2ab+b^2`

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

`(a-b)(a+b)=a^2-b^2`

أمثلة : 

`(1-x)^2=1-2x+x^2`

`(x+sqrt(2))^2=x^2+2sqrt(2x)+2`

`x^2-5=(x-sqrt(5))(x+sqrt(5))`

النشر والتحليل 

* تحليل عبارة جبرية يعني كتابتها على شكل جداء ويتم ذلك إما باستعمال العامل المشترك أو باستعمال المتطابقات الشهيرة.

* نشر وتبسيط عبارة جبرية يعني إجراء مختلف العمليات قصد تبسيطها وكتابتها على شكل خطي.

مثال : 

* نشر وتبسيط العبارة :

`(x+2)^2 - 3(x-1) `

يعطي :

`x^2+x+7`

 تحليل العبارة :

`(x+2)^2+(x+2)(x-1)`

يعطي :

`(x+2)(2x+1)`

معادلة جداء (معدوم) 

تعريف : تسمى كل معادلة من الشكل :

`\color{green}{(ax+b)(cx+d)=0}` 

حيث : `a, b, c, d` أعداد حقيقية معلومة مع `a ne 0` و `c ne 0` معادلة جداء (معدوم) ويؤول حلها إلى حل المعادلتين : 

`\color{green}{ax+b=0}`

 و 

`\color{green}{cx+d=0}` 

لدينا :

`(ax+b)(cx+d)=0` 

يعني

 `{ax+b=0}` أو `cx+d=0` 

أي :

`x=-b/a` 

أو 

`x=-d/c`

مثال :
 نعتبر المعادلة ذات المجهول `x` التالية :

`(x+1)(2x-3)=0`

`(x+1)(2x-3)=0`

 أي

 `x+1=0` 

أو 

 `2x-3=0`

ومنه :

 `x=-1` 

أو 

`x=3/2`

لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد نحولها إلى معادلة من الشكل `ax=b`
ملاحظة : عندما ننقل عددا أو عبارة من طرف إلى الطرف الآخر  لمعادلة لا ننسى تغيير الإشارات.
عندما نقسم طرف معادلة على عدد، نتأكد أن هذا العدد غير معدوم.

حل معادلة من الشكل : `x^2=a`

لحل معادلة من الشكل :

`x^2=a`  

حيث `a` عدد معطى ، نحدد إشارة العدد `a`

إذا كان ` a gt 0`  نكتب المعادلة "

`x^2=a` 

على الشكل:

 `x^2=(sqrt(a))^2`

 ثم نعين حلي المعادلة:

 `x^2=a`

تمرين 1 

حل كل من المعادلتين التاليتين :

`4x-3=2x+1`

`2(x+2)=3x-5`;

الحل  

حل المعادلة :

`4x-3 =2x+1`;

لدينا :

`4x-3=2x+1`

أي :

`4x-2x=3+1`

أي

`2x=4`

إذن

`2x/2=4/2`

أي

`x=2`

إذن : 2 هو الحل الوحيد للمعادلة `4x-3=2x+1` 
حل المعادلة :

`2(x+2)=3x-5`

لدينا :

`2(x+2)=3x-5`

أي :

`2x+4=3x-5`

أي :

`2x-3x=-5-4`

أي :

`-x=-9`

إذن :

`x=9`

إذن : 9 هو الحل الوحيد للمعادلة :`2(x2)=3x-5`

تمرين 2 :

حل المعادلة :

`2(x-1)^2=(x+3)(x-1)`

الحل:

نحل المعادلة التالية :

`2(x-1)^2 =(x+3)(x-1) `

نتبع المراحل التالية :
ننقل كل الأعداد والعبارات إلى الطرف الأول للمعادلة أي :

`2(x-1)^2-(x+3)(x-1)=0`

نلاحظ أن `(x-1)`  عامل متشرك، إذن يمكن كتابة المعادلة  بالشكل :

`(x-1)[2(x-1)-(x+3)]=0`

أي :

`(x-1)(2x-2-x-3)=0`

أي :

`(x-1)(x-5)=0`

نحل المعادلة `x-1=0` نجد `x=1`
نحل المعالة `x-5=0` نجد `x=5`
نستنتج أن للمعادلة :`2(x-1)^2=(x+3)(x-1)`  حلان هما 1 و 5