الجذر التربيعي

الجذر التربيعي :

تعريف : الجذر التربيعي للعدد الموجب `a` هو العدد الموجب الذي مربعه يساوي `a` ونرمز له بالرمز : `\sqrt{a}`

ولدينا : `(\sqrt{a})^2`

مثال : `sqrt(2) ` هو الجذر التربيعي للعدد 2 ، لدينا : `(sqrt(2))^2  =2`. و `sqrt(2^2)=2`

المعادلة من الشكل : `x^2=a` 

إذا كان `a lt 0` فإن المعادلة `x^2=a` لا تقبل حلولا.

إذا كان `a = 0` فإن المعادلة `x^2=0`   تقبل حلا وحيدا وهو 0.

إذا كان `a gt 0` فإن المعادلة `x^2=a`   تقبل حلين وهما : `sqrt(a)`  و `-sqrt(a)`.

مثال : للمعادلة `x^2=3` حلان هما : `-sqrt(3)`و `sqrt(3)`

خواص : 

الخاصية 1 : إذا كان `a` و `b` عددين موجبين فإن :

`sqrt(a times b )= sqrt(a) times sqrt(b)`

الخاصية 2 : إذا كان `a` و `b` عددين موجبين حيث `b ne 0` فإن :

`sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b)`

االخاصية 3 : إذا كان `a` عددا موجبا فإن : `sqrt(a^2)=a` 

االخاصية 4 : إذا كان`a`  و `b` عددين موجبين فإن :  `sqrt(a^2 times b) = a sqrt(b)`

أمثلة :  

`sqrt(18)=sqrt(3^2 times 2) =3sqrt(2)`; 

`sqrt(36)=6`;

`sqrt(14)/sqrt(7)=sqrt(14/7)=sqrt(2)`; 

`sqrt(3) times sqrt(5)=sqrt(15)`; 

ملاحظة : إذا كان `a` و `b` عددين موجبين غير معدومين حيث : `b lt a`  فإن :

`sqrt(a-b) ne sqrt(a) - sqrt(b)` و `sqrt(a+b) ne sqrt(a) + sqrt(b)`

مثال : لدينا من جهة : ` sqrt(16+9)=sqrt(25) = 5`

ولدينا من ثانية :  `sqrt(16) +sqrt(9) = 4+3 = 7`

وبالتالي : `sqrt(16+9) ne sqrt(16) +sqrt(9)`

لدينا من جهة : `sqrt(100-36) = sqrt(64) = 8` ولدينا `sqrt(100)- sqrt(36) = 10-6 =4`

 وبالتالي :

 `sqrt(100-36) ne sqrt(100) -sqrt(36)`

تمرين :

نعتبر العددين ` A` و `B` بحيث :

`A=sqrt(25) +sqrt(20)+sqrt(80)` و  `B=(sqrt(5) +2)^2 -(sqrt(5)-1)(sqrt(5)+1)`;

1. أكتب العددين `A` و `B`  على الشكل : `a+b sqrt(5)`
حيث `a` و `b` عددان طبيعيان.
2. عين القيمة المدورة إلى `10^-2` للعدد `A`
3. أحسب قيمة مقربة إلى `10^-2` بالنقصان للعدد `B`.
الحل :

`A=sqrt(25) + sqrt(20)+sqrt(80)`

`A=5+sqrt(4 times 5) + sqrt(16 times 5)` ;

و

`A=5 + 2 sqrt(5) + 4 sqrt(5) `

`A=5 + 6 sqrt(5)`

`B=(sqrt(5) +2) ^2 - (sqrt(5) -1) (sqrt(5)+1)`

`B=(sqrt(5))^2+2 times sqrt(5) times2+ 2^2 -((sqrt(5))^2-1)`
`B=5+4sqrt(5)+4-5+1`

`B=5 +4 sqrt(5)`

باستعمال آلة حاسبة علمية نتحصل على :  `A=18,41640...`
إذن `18,42` هي القيمة لمدورة إلى `10^-2` للعدد `A` لأن `6 ge 5`
3. باستعمال آلة حاسبة علمية نتحصل على : `B=13,94427...`
إذن `13,94` قيمة مقربة إلى `10^-2` بالنقصان للعدد `B`

مسألة :

`ABCD`  مربع طول ضلعه `x  cm`  . `ECF` مثلث قائم في النقطة `C`.

  النقطة `E` نقطة من القطعة المستقيمة `[BC]` و `FC=4cm`

1. عبر عن `A` مساحة `ABCD` بواسطة `x` ثم أحسب `A` من أجل : `x=2+sqrt(2)`
2. * نفرض `x ge 1` و `BE=0.5cm`
أحسب `A'` مساحة المثلث `ECF`بواسطة `x`
* نضع `S=A+A'` أحسب `S` بواسطة `x` ثم تحقق أن : `S=x^2 +2x-1`.
* أحسب `S` من أجل `x=2+sqrt(2)`. تعطى النتيجة على الشكل :  `a+bsqrt(2)`

الحل :
1.  `A=x^2` من أجل `x=2+sqrt(2)`  لدينا :  `A=(2+sqrt(2))^2`.
2.

*  `A'=(CF times CE)/2 =(4 times (x-0,5))/2=2(x-0,5)`

وبالتالي : `A'=2x-1`
* لدينا :

`S=x2+(2x-1) `

ومنه :

`S=x^2+2x-1`

* ` S=(2+sqrt(2))^2 +2(2+sqrt(2))-1=4+4sqrt(2)+2+4+2sqrt(2)-1`

ومنه :

`\color{green}(S=9+6sqrt(2)`