المرافق في الجيل الثاني: مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية

أ) مجموعة الأعداد الحقيقية

تعريف : مجموعة الأعداد الحقيقة

$\mathbb{R}$ هي مجموعة فواصل نقط مستقيم مزود بمعلم

$(O;I)$ . العدد الحقيقي 0 هو فاصلة المبدأ

$O$ والعدد الحقيقي

$1$ هو فاصلة النقطة

$I$

ملاحظات :

1) الأعداد الحقيقية الموجبة هي فواصل نقاط نصف المستقيم

$[OI)$ ويرمز لها بالرمز

$\mathbb{R}_+$ .

2) الأعداد الحقيقية السالبة، هي فواصل نقاط المستقيم

$[OJ)$ ، حيث

$J$ هي نقطة واقعة على يسار النقطة

$O$ ويرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية السالبة بالرمز

$\mathbb{R}_-$

3) الصفر عنصر من

$\mathbb{R}_+$ ومن

$\mathbb{R}_-$

4) يرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر (غير المعدومة) بالرمز

$\mathbb{R}^*$

ب) المجموعات الجزئية لمجموعة الأعداد الحقيقية

1. مجموعة الأعداد الطبيعية

0, 1, 3, ..... أعداد طبيعية. نرمز إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز

$\mathbb{N}$

أمثلة : العدد 3 ينتمي إلى مجموعة االأعداد الطبيعية, نكتب

$3 \in \mathbb{N}$ (الرمز

$in$ يقرأ "ينتمي إلى ") .

لدينا كذلك

$-2 \notin \mathbb{N}$ نقرأ (-2 لا ينتمي إلى

$\mathbb{N}$ )

ملاحظات:

1 .أصغر عدد طبيعي هو الصفر .

2. لا يوجد أكبر عدد طبيعي، أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية غير منتهية.

2.مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية

$...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ......$ أعداد صحيحة نسبية (سالبة، معدومة أو موجبة ).

نرمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالرمز

$\mathbb{Z}$ .

أمثلة : العدد

$-5$ ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية نكتب :

$-5 \in \mathbb{Z}$ .

لدينا كذلك :

$-2.5 \notin \mathbb{Z}$ (نقرأ -2,5 لا ينتمي إلى

$\mathbb{Z}$ )

نتيجة : كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي ، مجموعة الأعداد الطبيعية محتواة في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية، نكتب :

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ونقرأ

$\mathbb{N}$ محتواة في

$\mathbb{Z}$ .

3.مجموعة الأعداد العشرية :

العدد العشري هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل

$p/(10^n)$ حيث

$p$ عدد صحيح نسبي و

$n$ عدد طبيعي.

نرمز إلى مجموعة الأعداد العشرية بالرمز

$\mathbb{D}$

مثال : 2,75 عدد عشري، لأن

$275/(10^2)=2.75$ لكن :

$1/300 \notin \mathbb(D)$

نتيجة : كل عدد صحيح نسبي هو عدد عشري ونكتب :

$\mathbb(Z) \subset \mathbb(D)$

ملاحظة هامة : بمكن كتابة كل عدد عشري على شكل عدد بالفاصلة يتكون من جزء صحيح وجزء عشري منه.

تطبيق :العدد :

$3/5$ هو عدد عشري لأن :

$3/5 = (2 \times 3)/(2 \times 5) = 6/10 =0.6$

العدد :

$1/3$ ليس عدد عشري.

العدد :

$9/10^158$ هو عدد عشري لأنه من الشكل :

$p/10^n$ حيث

$p=9$ و

$n=158$

4 - الأعداد الناطقة :

تعريف : العدد الناطق هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل

$p/q$ حيث

$p$ عدد صحيح نسبي و

$q$ عدد صحيح نسبي غير معدوم. نرمز إلى مجموعة الأعداد الناطقة بالرمز :

$\mathbb(Q)$ .

مثال : 2,75 عدد عشري، وهو عدد ناطق أيضا لأن :

$2.75=275/10^2=11/4$

العدد

$1/300$ هو عدد ناطق.

نتيجة

كل عدد عشري هو عدد ناطق ونكتب :

$\mathbb(D) \subset mathbb(Q)$ .

خاصية : كل عدد ناطق يقبل كتابة وحيدة على شكل كسر غير قابل للاختزال

$p/q$ ، مع

$p$ و

$q$ عددين صحيحين نسبيين و

$q ne 0$

مثال : الشكل غير القابل للاختزال للعدد الناطق :

$150/255$ هو

$10/17$ ( لاحظ أن

$150/255= (15 \times 10)/(15 \times 17)$ )

5 - مجموعة الأعداد الغير ناطقة (الصماء) :

نسمي عددا أصما كل عدد حقيقي غير ناطق.

العدد

$\pi$ و

$\sqrt 2$ ليسا ناطقين (أصمين) لأنه لا يمكن كتابتهما على الشكل :

$p/q$ ، مع

$p$ و

$q$ عددين صحيحين نسبيين و

$q ne 0$

مقارنة مجموعات الأعداد :

خاصية : تحقق المجموعات العددية الأحتواءات الآتية :

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

خاصية : يتميز كل عدد ناطق بكتابة عشرية تتضمن دورا.

مثال :

$19/11=1.72727272..$ ،

$17/11= 1.54545454..$ ،

$1/2=0.5000000..$

تختصر هذه الكتابات العشرية الدورية كما يلي :

$19/11=1.\underline(72).$ ،

$17/11= 1.\underline(54)$ ،

$1/2=0.5underline(0)$

نتيجة : الأعداد العشرية دورها معدوم .

الانتقال من الكتابة العشرية لعدد ناطق إلى الكتابة الكسرية له :

مثال : عين الكتابة الكسرية للعدد

$a$ انطلاقا من الكتابة العشرية له :

$a=3.\underline(254)$ ، أقترح طريقة لتعيين الكتابة الكسرية لعدد ناطق انطلاقا من كتابته العشرية الدورية.

الحل :

$a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000 + 254/1000^2 + 254/1000^3 + ......$

$a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000(1+1/1000 + 1/1000^2 + ......)$

$a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000(1000/999)$

$a= 3. \underline(254) = 3+ 254/999=(3 \times 999 + 254)/999$

$a= (2997+254)/999 =3251/999$

الطريقة :

إذا كان

$a = e.\underline(f)$

حيث :

$e$ الجزء الصحيح و

$f$ الجزء العشري الدوري ،

$n$ عدد الأرقام في الدور .

فإن :

$a= e+ f/(10^n-1)$ ،

مثال :

$a=1.\underline(72)$

في هذا المثال لدينا :

$e=1 ; f=72; n=2$

ومنه:

$a=1.\underline(72)= 1+ 72/(10^2-1) = 1+72/99=(99+72)/99=171/99=19/11$

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية