مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعاتها الجزئية

أ) مجموعة الأعداد الحقيقية

تعريف : مجموعة الأعداد الحقيقة $\mathbb{R}$  هي مجموعة فواصل نقط مستقيم مزود بمعلم `(O;I)`. العدد الحقيقي 0 هو فاصلة المبدأ `O` والعدد الحقيقي `1` هو فاصلة النقطة `I`

ملاحظات :

1) الأعداد الحقيقية الموجبة هي فواصل نقاط نصف المستقيم `[OI)` ويرمز لها بالرمز $\mathbb{R}_+$ .

2) الأعداد الحقيقية السالبة، هي فواصل نقاط المستقيم `[OJ)` ، حيث `J` هي نقطة واقعة على يسار النقطة `O` ويرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية السالبة بالرمز $\mathbb{R}_-$

3) الصفر عنصر من $\mathbb{R}_+$ ومن $\mathbb{R}_-$

4) يرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر (غير المعدومة) بالرمز $\mathbb{R}^*$

ب) المجموعات الجزئية لمجموعة الأعداد الحقيقية

1. مجموعة الأعداد الطبيعية 

0, 1, 3, ..... أعداد طبيعية. نرمز إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز $\mathbb{N}$

أمثلة : العدد 3 ينتمي إلى مجموعة االأعداد الطبيعية, نكتب $3 \in \mathbb{N}$ (الرمز `in ` يقرأ "ينتمي إلى ") . 

لدينا كذلك   $ -2 \notin \mathbb{N}$ نقرأ (-2 لا ينتمي إلى $\mathbb{N}$)

ملاحظات:

1 .أصغر عدد طبيعي هو الصفر .

2. لا  يوجد أكبر عدد طبيعي، أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية غير منتهية.

2.مجموعة  الأعداد الصحيحة النسبية 

  `...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ......` أعداد صحيحة نسبية (سالبة، معدومة أو موجبة ).

نرمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية بالرمز $\mathbb{Z}$ .

أمثلة : العدد `-5` ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية نكتب : $-5 \in \mathbb{Z}$ .

لدينا كذلك :$-2.5 \notin \mathbb{Z}$  (نقرأ -2,5 لا ينتمي إلى  $\mathbb{Z}$ )

نتيجة : كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي ، مجموعة الأعداد الطبيعية محتواة في مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية، نكتب :  $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ ونقرأ $\mathbb{N}$ محتواة في $\mathbb{Z}$ .

 3.مجموعة الأعداد العشرية :

العدد العشري هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل `p/(10^n)` حيث `p` عدد صحيح نسبي و `n` عدد طبيعي.

نرمز إلى مجموعة الأعداد العشرية بالرمز $\mathbb{D}$ 

مثال : 2,75 عدد عشري، لأن `275/(10^2)=2.75`  لكن : `1/300 \notin \mathbb(D)`

نتيجة : كل عدد صحيح نسبي هو عدد عشري ونكتب : ` \mathbb(Z)  \subset \mathbb(D) `

ملاحظة هامة : بمكن كتابة كل عدد عشري على شكل عدد بالفاصلة يتكون من جزء صحيح وجزء عشري منه.

تطبيق :العدد : `3/5` هو عدد عشري لأن :  `3/5 = (2 \times 3)/(2 \times 5) = 6/10 =0.6`

         العدد : `1/3` ليس عدد عشري.

          العدد : `9/10^158` هو عدد عشري لأنه  من الشكل : `p/10^n` حيث `p=9`و `n=158`  

4 - الأعداد الناطقة : 

تعريف : العدد الناطق هو العدد الذي يمكن كتابته على الشكل `p/q` حيث `p` عدد صحيح نسبي و `q` عدد صحيح نسبي غير معدوم.  نرمز إلى مجموعة الأعداد الناطقة بالرمز : `\mathbb(Q)` .

مثال : 2,75 عدد عشري، وهو عدد ناطق أيضا لأن : `2.75=275/10^2=11/4` 

العدد `1/300`  هو عدد ناطق.

نتيجة 

كل عدد عشري هو عدد ناطق ونكتب :` \mathbb(D) \subset mathbb(Q) ` .

خاصية : كل عدد ناطق يقبل كتابة وحيدة على شكل كسر غير قابل للاختزال `p/q` ، مع `p` و `q` عددين صحيحين نسبيين و `q ne 0`

مثال : الشكل غير القابل للاختزال للعدد الناطق : `150/255` هو `10/17` ( لاحظ أن  `150/255= (15 \times 10)/(15 \times 17)` ) 

5 - مجموعة الأعداد الغير ناطقة (الصماء) : 

نسمي عددا أصما كل عدد حقيقي غير ناطق. 

العدد  `\pi` و  `\sqrt 2`   ليسا ناطقين (أصمين) لأنه لا يمكن كتابتهما على الشكل :  `p/q` ، مع `p` و `q` عددين صحيحين نسبيين و `q ne 0` 

مقارنة مجموعات الأعداد :

خاصية : تحقق المجموعات العددية الأحتواءات الآتية :  $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}  \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset  \mathbb{R}$

خاصية : يتميز كل عدد ناطق بكتابة عشرية تتضمن دورا.

مثال : `19/11=1.72727272..` ، `17/11= 1.54545454..`، `1/2=0.5000000..` 

تختصر هذه الكتابات العشرية الدورية كما يلي : `19/11=1.\underline(72).` ، `17/11= 1.\underline(54)`، `1/2=0.5underline(0)` 

 نتيجة : الأعداد العشرية دورها معدوم .

الانتقال من الكتابة العشرية لعدد ناطق إلى الكتابة الكسرية له : 

مثال : عين الكتابة الكسرية للعدد `a` انطلاقا من الكتابة العشرية له : `a=3.\underline(254)` ، أقترح طريقة لتعيين الكتابة الكسرية لعدد ناطق انطلاقا من كتابته العشرية الدورية.

الحل :

`a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000 + 254/1000^2 + 254/1000^3 + ......`

`a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000(1+1/1000 + 1/1000^2 + ......)`

`a= 3. \underline(254) = 3+ 254/1000(1000/999)`

`a= 3. \underline(254) = 3+ 254/999=(3 \times 999 + 254)/999`

`a= (2997+254)/999 =3251/999`

الطريقة : 

إذا كان   `a = e.\underline(f) `

حيث :  `e` الجزء الصحيح و `f`  الجزء العشري الدوري ،  `n`  عدد الأرقام في الدور .

فإن :  `a= e+ f/(10^n-1)` ، 

مثال :  `a=1.\underline(72)`   

في هذا المثال لدينا :   `e=1 ; f=72; n=2`

ومنه:

`a=1.\underline(72)= 1+ 72/(10^2-1) = 1+72/99=(99+72)/99=171/99=19/11`