القاسم المشترك الأكبر، قابلية الاختزال

خواص قواسم عدد طبيعي

• `a` و `b` و `n` أعداد طبيعية غير معدومة حيث `a lt b`  إذا كان `n` يقسم كلا من `a`و  `b` فإن  `n` يقسم كلا من `(a+b)` و `(a-b)`

مثال : 

7 قاسم لكل من 21 و 56
ومنه : 7 قاسم لـ ` (56+21)` أي 7 يقسم 77.
و 7 يقسم `(56-21)` أي 7 يقسم 35.

• `a` و `b` و `n` أعداد طبيعية غير معدومة حيث  `a lt b`  إذا كان `n` يقسم كلا من `a`و  `b` فإن `n` يقسم باقي القسمة الإقليدية لـ  `a` على `b`

مثال : 

3 يقسم  كلا  من 36  و 15
ومنه : 3 يقسم باقي القسمة 6

مثال : 

3 يقسم  كلا  من 36  و 15
ومنه : 3 يقسم باقي القسمة 6

تعيين القاسم المشترك الأكبر لعددين

• `a`, `b` عددان طبيعيان ، نسمي قاسما مشتركا للعددين `a` و  `b`، كل عدد طبيعي يقسم العددين `a` و `b` في آن واحد.

أكبر القواسم المشتركة للعددين `a` و `b`  يسمى القسام المشترك الأكبر للعددين   `a` و `b`  ونرمز له `pgcd(a,b)`
مجموعة القواسم المشتركة للعددين هي مجموعة قواسم القاسم المشترك الأكبر.
مثال
قواسم 30 هي 1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30
قواسم 45 هي 1، 3، 5، 9، 15، 45
مجموعة القواسم المشتركة للعددين  45 و 30 هي 1، 3، 5، 15
ومنه : `PGCD(45,30)=15`

التعرّف على عددين أوليين فيما بينها

• `a` و `b` عددان أوليان فيما بينهما معناه أن قاسمهما المشترك الأكبر يساوي 1.

مثال : 

قواسم 14 هي : 14، 7، 2، 1
وقواسم 15 هي : 15، 5، 3، 1
أي القاسم المشترك الأكبر لـ 14 و 15 هو 1
نقول أن 14 و 15 أوليان فيما بينهما.

كتابة كسر على الشكل غير القابل للاختزال

• اختزال كسر يعني قسمة كلا من حدي الكسر على القاسم المشترك الأكبر  لبسطه و مقامه نحصل على كسر غير قابل لاختزال.

`a, b` عددان طبيعيان غير معدومين ، الكسر `a/b`  غير قابل لاختزال  يعني أن العدد `b` و `a`  أوليان فيما بينهما .

تمرين 01

ليكن العددين `A` و `B` حيث : `A=90/11` و `B=494/143`

1/ أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين `90` و `11`

2/ هل الكسر `A` قابل للاختزال؟ لماذا؟

3/ أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين `494` و ` 143` .

4/ أكتب الكسر `B` على شكل كسر غير قابل للاختزال.

5/ أكتب `C` على شكل كسر غير قابل للاختزال حيث : `C=494/143 + 90/11 div 1/2`

6/ نريد غرس أشجار على محيط حديقة رباعية الشكل على أنه توجد شجرة في كل ركن من أركان الحديقة وأن تكون المسافة التي تفصل بين الأشجار متساوية.

- ما هي أكبر مسافة التي تفصل بين شجرتين متجاورتين إذا علمت أن أبعاد الحديقة بالمتر هي : 11؛ 90 ؛ 143؛ 494

- ما هو عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول الحديقة إذا كانت المسافة بين شجرتين متجاورتين هي `1 m` ؟

الحل :

1/ إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين : 90 و 11 :

`PGCD(90;11)=PGCD(11;2) `

` PGCD(11;2) = PGCD(2;1) `

`PGCD(2;1) =1 `

` 90 = \color{#2E86C1}(11) times 8 +\color{#2E86C1}(2) `

`11 = \color{#2E86C1}(2) times 5 +\color{#2E86C1}(1) `

إذن القاسم المشترك الأكبر للعددين 90 و 11 هو 1 .

2/ معرفة إذا كان الكسر `A` قابل للاختزال :

بما أن : `PGCD (90;11)=1` فإن الكسر `A=90/11` غير قابل للاختزال.

3/ إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 494 و 143 :

`494 =143 times 3 +\color{#2E86C1}(65)`

`143 =\color{#2E86C1}(65) times 2 +\color{#2E86C1}(13)`

`65 =\color{#2E86C1}(13) times 5 +0`

`PGCD(143; 494)=PGCD(143;65)`

`PGCD(143; 65)=PGCD(65;13)`

`PGCD(13; 0)=\color{#2E86C1}(13)`

إذن القاسم المشترك الأكبر للعددين 494 و 143 هو 13

4/ كتابة الكسر `B` على شكل كسر غير قابل للاختزال :

بما أن : `PGCD(143;494)=13`

فإن `B=494/143=(494 div 13)/(143 div 13) `

`B=38/11`

5/ كتابة العدد `C` على شكل كسر غير قابل للاختزال :

`C=494/143 + 90/11 div 1/2`

`C=38/11 + 90/11 times 2/1`

`C=38/11 + (90 times 2) /( 11 times 1)`

`C= 38/11 + 180/11`

`C=(38+180)/11`

`C=218/11`

6/ إيجاد أكبر مسافة والتي تفصل بين شجرتين متجاورتين :

أكبر مسافة تفصل بين شجرتين متجاورتين هي نفسها القاسم المشترك الأكبر للأعداد : 11 ؛ 90؛ 143 ؛ 494 وهي : `1 m`

لدينا قواسم 11 هي : 1 و 11

11 لا يقشم 90

إذن : `PGCD (494;143;90;11)=1`

- إيجاد عدد الأشجار التي يمكن غرسها حول هذه الحديقة إذا كانت المسافة بين شجرتين متجاورتين هي : `1 m`

عدد الأشجار الي يمكن غرسها حول هذه الحديقة هو : 738 شجرة

`494 +143+90+11 = 738`

تمرين 02

.أحسب:  `PGCD(6942 ;3510)`

2. أكتب الكسر: `6942/3510` على شكل كسر غير قابل لاختزال.

3. أحسب `M` حيث: `M=6942/3510 – 11/9 times 4/5`

الحل: 

1. حساب: `PGCD(6942 ;3510)`

نجري عملية الطرح المتتالية فنحصل على :

  القاسم المشترك الأكبر هو آخر ناتج غير معدوم ، `PGCD(6942 ;3510)=78`

2. . كتابة الكسر: `6942/3510` على شكل كسر غير قابل لاختزال. 

نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر.

`(6942 div 78)/(3510 div 78)=89/45`

3. حساب `M` حيث: `M=6942/3510 – 11/9 times 4/5`

`M=6942/3510 – 11/9 times 4/5`

`M=89/45 – 44/45= 45/45=1`