المتتاليات العددية

  المتتالية العددية  الحقيقية  `u` هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي `n`، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي `n_0` معطى، العدد `u(n)`

• يرمز لمتتالية بأحد الرموز `T `، `U`، `H`، `(u_n)` ، `(v_n)  `   `...` إلخ.
• نرمز إلى صورة `n` بالمتتالية `u` بدلا من `u(n)`. هذا الترميز الجديد يسمى الترميز بدليل.
•  `u_n` هو الحد الذي دليله `n` ويسمى كذلك الحد العام للمتتالية  `u`
• `u_0` هو الحد الأول للمتتالية `u` إذا كانت معرفة على `bbbN`

العلاقة بين رتبة  حد ودليله في متتالية 

في الحد `u_n` ،  `n`هو دليل الحد وليس رتبته.

مثال : المتتالية `w` حيث أن `w_n=(n+3)/(n-5) ` معرفة من أجل `n ge 6`، 6 هو دليل الحد `w_6` وأما رتبته فهي الرتبة الأولى ، حيث `w_6` هو الحد الأول.

رتبة حد ` u_b (b in bbb N)` من متتالية `u` بالنسبة إلى الحد `u_a` ( `a` عدد طبيعي أصغر من `b`) هو العدد الطبيعي `b-a+1` 

طرق توليد متتالية عددية

 يقصد بتوليد متتالية معرفة حدودها/

• متتالية عدد معرفة بحدها العام : `u_n=f(n) ` مثلا من أجل كل عدد طبيعي `n` : `u_n=2n+1`
• متتالية عددية معرفة بعلاقة تراجعية `u_(n+1) =f(u_n)` : مثلا من أجل كل عدد طبيعي ` n `: \begin{cases} u_0=2  \\  u_{n+1}=2u_n+3  \end{cases} 

تطبيق 01

المتتالية `(u_n)` معرفة وفق `u_0=3` و `u_(n+1) =-u_n+4` في حالة عدد طبيعي `n` .

1) أحسب `u_5, u_4, u_3, u_2, u_1` وخمّن عبارة `u_n` بدلالة `n` ثم حدد   ` u_n` بدلالة `n`.

2) ااستنتج عندئذ قيمة الحد الذي رتبته 100.

الحل 

1) لدينا :

n	0	1	2	3	4	5
`u_0`	3	1	3	1	3	1

وهكذا نرى أن : 

$ u_n =
\begin{cases}
3 & \text{ ﻲﺟﻭﺯ} n \\
1 & \text{ ﻱدرﻓ} n
\end{cases}$

ويمكن التعبير عن `u_n` بصيغة أخرى وهي:  `u_n=2+(-1)^n` التي يمكن إثبات صحتها بدلالة `n`

2) بما أن المتتالية معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية فإن الحد الذي رتبته 100 دليله 99 إذن: `u_99=2+(-1)^99`

اتجاه تغير متتالية عددية:

من أجل كل عدد طبيعي `n` نعتبر المتتالية العددية `(u_n)` .

• `(u_n)` متزايدة تماما (متزايدة على الترتيب) يعني أنه من أجل كل `n` من `bbb N` : `(u_(n+1)-u_n ge 0) u_(n+1) -u_n gt 0`.
• `(u_n)` متناقصة تماما (متناقصة على الترتيب) يعني أنه من أجل كل `n` من `bbb N` : `(u_(n+1)-u_n le 0) u_(n+1) -u_n lt 0`.
• `(u_n) ` ثابتة على `bbb N` يعني أنه من أجل كل `n` من `bbb N`:  `u_(n+1)-u_n=0`
• المتتالية المتزايدة تماما  أو المتناقصة تماما هي متتالية رتيبة.

طريقة لدراسة اتجاه تغير متتالية :

لدراسة اتجاه تغير المتتالية `(u_n)_(n in bbbN)`  يمكن :

1. دراسة إشارة الفرق : `u_(n+1)-u_n`  
2. إذا كانت حدود المتتالية موجبة تماما نقارن `(u_{n+1})/(u_n) ` بالعدد 1.
3. دراسة اتجاه تغير الدالة `f` على المجال :   `[0;+infty]` في حالة `u_n=f(n)` 

تنبيه : يمكن استعمال الطرق الثلاثة مع نفس المتتالية، إن تحققت الشروط المطلوبة.

متتالية محدودة من الأعلى. محدودة من الأسفل، متتالية محدودة 

القول عن المتتالية العددية  `(u_n)`  المعرفة على `bbbN` هي :

• متتالية محدودة من الأعلى في حالة وجود عدد حقيقي `M` حيث من أجل كل عدد طبيعي `n` : `u_n le M`، نقول أن `M`عنصر حاد من الأعلى.
• متتالية محدودة من الأسفل  في حالة وجود عدد حقيقي `m` حيث من أجل كل عدد طبيعي `n` : `u_n ge m`، نقول أن `m`عنصر حاد من الأسفل.
• متتالية محدودة  في حالة وجود عددان حقيقيان `M`  و `m` حيث من أجل كل عدد طبيعي `n` : `m le u_n le M`، وهذا يعني أنها محدودة من الأعلى ومن الأسفل.

طريقة لإثبات أن متتالية عددية محدودة 

لإثبات أن `(u_n)` متتالية محدودة من الأعلى بعدد حقيقي `M`  (أو من الأسفل بعدد حقيقي `m` ) نتبع إحدى الطرق التالية: 

• استعمال الاستدلال بالتراجع لإثبات أنه من أجل كل عدد طبيعي `n` : `u_n le M` ( أو u_n-m) 
• المقارنة بين `u_n` و `M` (أو بين `u_n` و `m`) بدراسة إشارة `u_n-M` (أو `u_n - m`) 
• إذا كانت `u_n=f(n)` ندرس تغيرات الدالة `f`على `[0;+infty]`