المرافق في الجيل الثاني: المتتاليات العددية

المتتالية العددية الحقيقية $u$ هي دالة ترفق بكل عدد طبيعي $n$ ، أكبر من أو يساوي عدد طبيعي $n_0$ معطى، العدد $u(n)$

يرمز لمتتالية بأحد الرموز $T$ ، $U$ ، $H$ ، $(u_n)$ ، $(v_n)$ $...$ إلخ.
نرمز إلى صورة $n$ بالمتتالية $u$ بدلا من $u(n)$ . هذا الترميز الجديد يسمى الترميز بدليل.
$u_n$ هو الحد الذي دليله $n$ ويسمى كذلك الحد العام للمتتالية $u$
$u_0$ هو الحد الأول للمتتالية $u$ إذا كانت معرفة على $bbbN$

العلاقة بين رتبة حد ودليله في متتالية

في الحد $u_n$ ، $n$ هو دليل الحد وليس رتبته.

مثال : المتتالية $w$ حيث أن $w_n=(n+3)/(n-5)$ معرفة من أجل $n ge 6$ ، 6 هو دليل الحد $w_6$ وأما رتبته فهي الرتبة الأولى ، حيث $w_6$ هو الحد الأول.

رتبة حد $u_b (b in bbb N)$ من متتالية $u$ بالنسبة إلى الحد $u_a$ ( $a$ عدد طبيعي أصغر من $b$ ) هو العدد الطبيعي $b-a+1$

طرق توليد متتالية عددية

يقصد بتوليد متتالية معرفة حدودها/

متتالية عدد معرفة بحدها العام : $u_n=f(n)$ مثلا من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_n=2n+1$
متتالية عددية معرفة بعلاقة تراجعية $u_(n+1) =f(u_n)$ : مثلا من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $\begin{cases} u_0=2 \\ u_{n+1}=2u_n+3 \end{cases}$

تطبيق 01

المتتالية

$(u_n)$ معرفة وفق

$u_0=3$ و

$u_(n+1) =-u_n+4$ في حالة عدد طبيعي

$n$ .

1) أحسب

$u_5, u_4, u_3, u_2, u_1$ وخمّن عبارة

$u_n$ بدلالة

$n$ ثم حدد

$u_n$ بدلالة

$n$ .

2) ااستنتج عندئذ قيمة الحد الذي رتبته 100.

الحل

1) لدينا :

n	0	1	2	3	4	5
$u_0$	3	1	3	1	3	1

وهكذا نرى أن :

$u_n = \begin{cases} 3 & \text{ ﻲﺟﻭﺯ} n \\ 1 & \text{ ﻱدرﻓ} n \end{cases}$

ويمكن التعبير عن

$u_n$ بصيغة أخرى وهي:

$u_n=2+(-1)^n$ التي يمكن إثبات صحتها بدلالة

$n$

2) بما أن المتتالية معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية فإن الحد الذي رتبته 100 دليله 99 إذن:

$u_99=2+(-1)^99$

اتجاه تغير متتالية عددية:

من أجل كل عدد طبيعي

$n$ نعتبر المتتالية العددية

$(u_n)$ .

$(u_n)$ متزايدة تماما (متزايدة على الترتيب) يعني أنه من أجل كل $n$ من $bbb N$ : $(u_(n+1)-u_n ge 0) u_(n+1) -u_n gt 0$ .
$(u_n)$ متناقصة تماما (متناقصة على الترتيب) يعني أنه من أجل كل $n$ من $bbb N$ : $(u_(n+1)-u_n le 0) u_(n+1) -u_n lt 0$ .
$(u_n)$ ثابتة على $bbb N$ يعني أنه من أجل كل $n$ من $bbb N$ : $u_(n+1)-u_n=0$
المتتالية المتزايدة تماما أو المتناقصة تماما هي متتالية رتيبة.

طريقة لدراسة اتجاه تغير متتالية :

لدراسة اتجاه تغير المتتالية

$(u_n)_(n in bbbN)$ يمكن :

دراسة إشارة الفرق : $u_(n+1)-u_n$
إذا كانت حدود المتتالية موجبة تماما نقارن $(u_{n+1})/(u_n)$ بالعدد 1.
دراسة اتجاه تغير الدالة $f$ على المجال : $[0;+infty]$ في حالة $u_n=f(n)$

تنبيه : يمكن استعمال الطرق الثلاثة مع نفس المتتالية، إن تحققت الشروط المطلوبة.

متتالية محدودة من الأعلى. محدودة من الأسفل، متتالية محدودة

القول عن المتتالية العددية

$(u_n)$ المعرفة على

$bbbN$ هي :

متتالية محدودة من الأعلى في حالة وجود عدد حقيقي $M$ حيث من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_n le M$ ، نقول أن $M$ عنصر حاد من الأعلى.
متتالية محدودة من الأسفل في حالة وجود عدد حقيقي $m$ حيث من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_n ge m$ ، نقول أن $m$ عنصر حاد من الأسفل.
متتالية محدودة في حالة وجود عددان حقيقيان $M$ و $m$ حيث من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $m le u_n le M$ ، وهذا يعني أنها محدودة من الأعلى ومن الأسفل.

طريقة لإثبات أن متتالية عددية محدودة

لإثبات أن

$(u_n)$ متتالية محدودة من الأعلى بعدد حقيقي

$M$ (أو من الأسفل بعدد حقيقي

$m$ ) نتبع إحدى الطرق التالية:

استعمال الاستدلال بالتراجع لإثبات أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_n le M$ ( أو u_n-m)
المقارنة بين $u_n$ و $M$ (أو بين $u_n$ و $m$ ) بدراسة إشارة $u_n-M$ (أو $u_n - m$ )
إذا كانت $u_n=f(n)$ ندرس تغيرات الدالة $f$ على $[0;+infty]$

المرافق في الجيل الثاني

الصفحات

المتتاليات العددية

العلاقة بين رتبة حد ودليله في متتالية

طرق توليد متتالية عددية

تطبيق 01

الحل

اتجاه تغير متتالية عددية:

طريقة لدراسة اتجاه تغير متتالية :

متتالية محدودة من الأعلى. محدودة من الأسفل، متتالية محدودة

طريقة لإثبات أن متتالية عددية محدودة

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

بحث في هذه المدونة الإلكترونية

المشاركات الشائعة