النسب المثلثية في مثلث قائم

1- جيب زاوية حادة : 

تعريف : 

في مثلث قائم

لا حظ أيضا :

`AC` : الصلع المقابل لـ `\hat beta`

`AB` : الضلع المجاور لـ `\hat B`

`CB` : الوتر

ومنه : 

$\boxed{sin \hat B=\frac {AC}{CB}}$

جيب زاوية محصور بين العددين `0` و `1` لأن طول الوتر أكبر من طولي كل من الضلعين الآخرين

2- ظل زاوية حادة : 

تعريف : 

3- حساب زوايا أو أ طوال  باستعمال النسب المؤ ية:

لحساب زاوية أو طول نتبع الخطوات التالية:

• التحقق من أن المثلث قائم.
• تحديد الضلع المقابل والضلع المجاور لزاوية حادة والوتر.
• تطبيق إحدى المساويات التي تعطي النسب المثلثية لزاوية حادة.

4- إنشاء زاوية بمعرفة إحدى نسبها المثلثية هندسيا:

لإنشاء زاوية قيسها `\alpha` حيث : `\sin \alpha=0.75` 

نكتب العدد `0.75` على شكل كسر عشري.

`0.75=75/100=3/4` 

حيث : 

- يمثل البسط طول الضلع المقابل للزاوية `\alpha` .

- يمثل المقام طول الوتر في المثلث القائم الذي أحد زواياه الحادة `\alpha` 

نرسم مثلثا قائما وتره `4x`، وطول  أحد  ضلعي الزواية القائمة هو `3x`.

5- العلاقات بين النسب المثلثية :

في مثلث قائم :

مهما يكن العدد الحقيقي `x`  قيس زاوية حادة فإن 

$\{ \begin{matrix}\tan x= \frac{sin x}{cos x}\\sin^2 x +cos^2x =1 \end{matrix}$

تمرين 01

في الشكل المقابل الأطوال وأقياس الزوايا غير حقيقية (C) دائرة مركزها  `O`  وقطرها  `ST= 6cm` ، `R` نقطة من هذه الدائرة حيث  `\hat (STR)=30°`

1/ المثلث  `RST` قائم في  `R` علل؟

2/ أحسب الطول  `RS` 

3/ ما نوع المثلث  `SOR`؟ علل؟

الحل : 

1/ المثلث `RST` قائم في `R`.

التعليل : المثلث  `RST` مرسوم في الدائرة وضلعه  `[ ST]` هو قطر للدائرة ومنه حسب الخاصية : إذا كان قطر الدائرة هو ضلع المثلث المرسوم فيها فإن المثلث قائم وقطرها هو وتر  الدائرة  وبالتالي `RST` قائم في `R` و `[ST]` وتره.

2/حساب الطول  `RS`

`sin(\hat(SRT))=(RS)/(TS)`

`sin(30)=(RS)/6`

`RS=6*Sin(30)`

`RS=6 times 1/2`

`RS= 3cm`

3/نوع المثلث   `SOR` : هو متقايس الأضلاع 

`SR=OR=OS=3cm`

`(OR=OS)=3cm`

لأن 

`OR` نصف قطر للدائرة 

`OS` نصف قطر للدائرة.

وبالتالي : `RS=OR=OS`

ومنه : `ROS` مثلث متقايس الأضلاع 

التمرين 02

الشكل المقابل غير مرسوم بأبعاده الحقيقية (وحدة الطول هي السنتيمتر) 

`ML=4.5; MN=3.6; MP=7.5; MQ=6`

1/ بين أن المستقيمين `(LP)` و  `(QN)` متوازيان ,

2/ أحسب قيس الزاوية  `\hat(QNM)` بالتدوير إلى الوحدة من الدرجة 

الحل 

1/ نبين أن $(QN) \parallel (LP)$

`(ML)/(MN)=4.5/3.6=1.25`

`(MP)/(MQ)=7.5/6=1.25`

`(ML)/(MN)=(MP)/(MQ)` والنقاط  `L, M, N` و `Q, M, P`  على الترتيب 

فإن: `(LP)` و `(QN)` متوازيان حسب الخاصية العكسية لطاليس.

2/ حساب قيس الزاوية `\hat(QNM)` 

`\tan\hat(QNM)=(QM)/(MN)=6/3.6`

بالآلة الحاسبة : 

`\hat(QNM)=59°`